Extensão algébrica

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Uma extensão algébrica F de um corpo E é um corpo que é contradomínio de um homomorfismo injetivo \phi : E \rightarrow F, em todo elemento de F é algébrico em E, ou seja, todo elemento \alpha \in F é raiz de um polinômio cujos coeficientes são elementos de E. Esta definição é amplamente utilizada nos estudos de polinômios, notavelmente para a teoria de Galois. Note que a imagem de um polinômio por homomorfismo será um polinômio de mesmo grau; seus coeficientes serão imagem dos coeficientes do polinômio inicial:

 \phi (a_{0} + a_{1} x + ... + a_{n} x^{n}) = \phi (a_{0}) +\phi (a_{1}) \phi (x) +...+\phi (a_{n}) \phi (x^{n}) = \phi (a_{0}) +...+\phi (a_{n}) \phi (x)^{n}

Em particular, se \alpha é raiz deste polinômio - sabendo-se que um homomorfismo leva o elemento neutro da soma de um corpo no elemento neutro da soma do outro - logo \phi ( \alpha ) será raiz do polinômio \phi (a_{0}) +\phi (a_{1}) X +...+\phi (a_{n}) X^{n}.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • A definição de extensão algébrica é, propositalmente, genérica para permitir construções de extensões. Um caso particular é quando E \subset F, a função \phi é a função inclusão, E é um sub-corpo de F, e todo elemento de F é algébrico em E.
  • O conjunto \mathbb{Q} [i] = \{ a+bi | a,b \in \mathbb{Q} \} munido das aplicações usuais de soma e de multiplicação usuais dos números complexos é um corpo. A aplicação \phi : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} [i] é dada por \phi (a) = a+0i = a. Assim, o corpo \mathbb{Q} [i] é uma extensão algébrica de \mathbb{Q}
  • O conjunto dos números algébricos é uma extensão algébrica do conjuntos dos números racionais.
  • O corpo \mathbb{Q}(\pi), formado pelos números reais da forma \frac {f(\pi)} {g(\pi)}, sendo f e g polinômios com coeficientes inteiros, não é uma extensão algébrica de \mathbb{Q}, porque \pi não é algébrico em \mathbb{Q}. Esse é um exemplo de uma extensão transcendente.
  • O corpo \mathbb{Q}(\sqrt \pi), formado pelos números reais da forma \frac {f(\sqrt \pi)} {g(\sqrt \pi)}, sendo f e g polinômios com coeficientes inteiros, é uma extensão algébrica de \mathbb{Q}(\pi).

Extensão algébrica finita[editar | editar código-fonte]

Uma extensão algébrica finita F de um corpo E é um corpo que é contra-domínio de um homomorfismo injetivo \phi : E \rightarrow F onde o espaço vetorial F associado ao corpo \phi (E) é de dimensão finita.

Construção[editar | editar código-fonte]

Um dos teoremas mais poderosos da Álgebra é aquele que diz, essencialmente, que todo polinômio tem uma raiz. A forma precisa deste teorema é:

Seja E um corpo, p(x) um polinômio com coeficientes em E. Então existe uma extensão algébrica F de E tal que p(x) tem (pelo menos) uma raiz em F.

A forma de construir este corpo F, no caso de p(x) ser um polinômio irreducível, é construir o anel E[x] de polinômios, definir o sub-anel < p(x) > em E[x], usar a irreducibilidade de p(x) para provar que o anel quociente F = \frac {E[x]} { <  p(x) > } é um corpo e que a função \phi(e) = e + < p(x) > é um homomorfismo injetivo, e provar que, em F, x + < p(x) > é uma raiz de p(x).