Monoide

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Em álgebra abstrata, um monoide é uma estrutura algébrica com uma única operação binária, associativa e com um elemento neutro[1] .

Monoides ocorrem em alguns ramos da matemática. Em geometria, um monoide captura a idéia de composição de função. Essa noção é abstraída da teoria das categorias, no qual o monoide é uma categoria com um objeto. Os monoides são usados comumente para fornecer fundações algébricas à ciência da computação. Nesse caso, alguns tipos de monoides são usados para descrever uma máquina de estado finito.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Um monoide pode ser definido de três maneiras completamente equivalentes. Sendo '*' uma operação qualquer:

  1. é um conjunto G dotado de uma operação binária para a qual valem as seguintes propriedades:
    1. fechamento: dado  a,b \in G o elemento resultante da composição de a e b pertence a G ( a*b \in G )
    2. associatividade: para todos  a,b,c \in G vale  \left(a*b\right)*c = a*\left(b*c\right) = a*b*c
    3. existência do elemento neutro: existe um único  e tal que para todo  a \in G vale  \left(a*e\right) = a = \left(e*a\right)
  2. é um grupoide dotado das propriedades:
    1. associativa (associatividade) para todos  a,b,c \in G vale  \left(a*b\right)*c = a*\left(b*c\right) = a*b*c
    2. existencia de um elemento neutro e tal que existe um único e tal que para todo  a \in G vale  \left(a*e\right) = a = \left(e*a\right)
  3. é um semi-grupo dotado da existencia de um elemento neutro e: existe um único e tal que para todo  a \in G vale  \left(a*e\right) = a = \left(e*a\right) .

Um monoide para o qual todo elemento possui elemento inverso é um grupo.

Um monoide é puro quando o único elemento que possui inverso é a identidade[2] .

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Em um monoide, se um elemento tem um inverso, então o inverso é único[2] .
  • O conjunto dos elementos inversíveis de um monoide M, Inv M, é um grupo[2] .


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Referências

  1. Monoid, no site C++ Boost
  2. a b c Invertible Elements, Pure Monoids, no site do Departmento of Mathematics da Carnegie Mellon University
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