Unital
Unital, em matemática, é qualquer "álgebra" (no sentido de estrutura algébrica) que seja munida de elemento neutro bilateral multiplicativo (também dito elemento neutro irrestrito multiplicativo).
- Isso significa que, para qualquer e todo elemento "E" da álgebra em exame, se for o elemento neutro à esquerda apenas e for o elemento neutro à direita apenas, deve-se, obrigatoriamente ter:
Nomenclatura[editar | editar código-fonte]
Às vezes, quando não houver possiblidade de confusão, ou pelo uso em domínio específico, inambíguo, unívoco, ao unital costuma-se chamar "unitário".
Um unital define um monóide multiplicativo, isto é, havendo aquele, haverá este. Porém, não se confunde unital com o monóide multiplicativo, que o contém, e é apenas adjetiva, mas não substantivamente, unital.
Propriedades[editar | editar código-fonte]
Um unital, como já foi dito, define um monóide multiplicativo. E como em qualquer monóide, uma vez definido, seu elemento neutro multiplicativo é único.
A maioria das álgebras associativas em álgebra abstrata, como, por exemplo, as álgebras de grupos, as álgebras polinomiais, as álgebras matriciais, são unitais, se os seus anéis também o forem. Por outro lado, são não-unitais a maioria das álgebras funcionais em análise matemática, como a álgebra das funções degrau infinito para zero.
Dadas duas álgebras unitais, A e B, um homomorfismo algébrico f definido por
- f : A → B
- é dito ser unital se transforma o elemento neutro multiplicativo de uma no elemento neutro multiplicativo de outra e vice-versa.
Se a álgebra associativa A sobre o campo K é não-unital, pode-se-lhe juntar um elemento neutro multiplicativo com segue: toma-se A×K como espaço vetorial-K subjacente e se define multiplicação * por
- (x,r) * (y,s) = (xy + sx + ry, rs)
- para x,y em A e r,s em K.
Então * é uma operação associativa com elemento neutro (0,1). A algebra anterior A está contida na nova, e A×K é a algebra unital "mais geral" que contém A, em termos de construções universais.
Conforme o glossário de teoria dos anéis, convencionou-se assumir a existência de um elemento neutro multiplicativo para qualquer anel. Com tal premissa, todos os anéis são necessariamente unitais, e todos os homomorfismo em anéis são unitais, e, assim, as álgebras associativas são também unitais, se o forem seus anéis.
Alguns autores que não reconhecem anéis com elemento neutro preferirão chamar "anéis unitais" aos anéis munidos de elemento neutro, e identificarão módulos sobre esses anéis, para os quais o elemento neutro do anel atua como um elemento neutro no módulo como "módulos unitais" (ou módulos unitários).
