Número de Leyland

Em teoria dos números, um número de Leyland, nomeado em homenagem ao matemático Paul Leyland é um número da forma

$x^{y}+y^{x}$

onde x e y são números inteiros maiores que 1.

Os primeiros números de Leyland são

8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124 (sequência A076980 na OEIS).

A condição de x e y serem ambos maiores que 1 é importante, pois sem essa restrição todo número inteiro positivo seria um número de Leyland da forma $x^{1}+1^{x}$, que gera o sucessor do número x. Além disso, por conta da propriedade comutativa da adição para o anel dos números inteiros, a condição x ≥ y é usualmente adicionada para evitar uma dupla entrada do conjunto dos número de Leyland. (ou seja, 1 < y ≤ x). De forma mais rigorosa, seja $f(x,y)=x^{y}+y^{x}$ uma função de duas variáveis que gera os números de Leyland. É claro que $f(x,y)=f(y,x)$ e $f(x,1)=f(1,x)=x+1$, donde são naturais as restrições impostas. Além disso,

$f(x,0)=f(0,x)=1\forall x\in \mathbb {Z}$

Primos de Leyland

Um primo de Leyland é um número de Leyland que também é um número primo. Os primeiros são

17, 593, 32993, 2097593, 8589935681, 59604644783353249, 523347633027360537213687137, 43143988327398957279342419750374600193, ... (sequência A094133 na OEIS)

que correspondem a

3²+2³, 9²+2⁹, 15²+2¹⁵, 21²+2²¹, 33²+2³³, 24⁵+5²⁴, 56³+3⁵⁶, 32¹⁵+15³².

Fixando o valor de y e considerando a sequência dos valoresx que geram primos de Leyland, por exemplo x² + 2^x , temos que este é primo para x = 3, 9, 15, 21, 33, 2007, 2127, 3759, ... ((sequência A064539 na OEIS)).

Em novembro de 2012, o maior número de Leyland comprovadamente primo era 5122⁶⁷⁵³ + 6753⁵¹²², com um total de 5050 dígitos (sendo curiosamente 5050 o centésimo número triangular). De janeiro a abril de 2011 foi o maior número primo cuja primalidade foi provada pelo método de primalidade da curva elíptica. Em dezembro de 2012, foi provada a primalidade de 3110⁶³ + 63³¹¹⁰ (5596 algarismos) e 8656²⁹²⁹ + 2929⁸⁶⁵⁶ (30008 algarismos). Há vários prováveis primos, como 314738⁹ + 9³¹⁴⁷³⁸.

Números de Leyland para subtração

Os números de Leyland para subtração são da forma

$x^{y}-y^{x}$

onde x e y são inteiros maiores do que 1.

Os números de Leyland para subtração primos são os números de Leyland para subtração que também são primos. Os primeiros termos são:

7, 17, 79, 431, 58049, 130783, 162287, 523927, 2486784401, 6102977801, 8375575711, 13055867207, 83695120256591, 375700268413577, 2251799813682647, ... (sequência A123206 na OEIS)

Para prováveis primos, veja .