Perfeito totiente

Em teoria dos números, um número perfeito de totiente é um número inteiro que é igual à soma de suas iterações de totiente. Ou seja, aplica-se a função totiente para um número $n$, aplicá-lo de novo para o resultante da função totiente, e assim por diante, até que o ${\text{número}}~1$ seja alcançado, e adicionar em conjunto a sequência de números resultante; Se a ${\text{soma é igual a n,}}n$ é um ${\text{número perfeito de totiente}}$. Ou, dito de algebricamente, se

$n=\sum _{i=1}^{c+1}\varphi ^{i}(n),$

Onde

$\varphi ^{i}(n)=\left\{{\begin{matrix}\varphi (n)&{\mbox{ if }}i=1\\\varphi (\varphi ^{i-1}(n))&{\mbox{ caso contrário}}\end{matrix}}\right.$

são as interações da função de totiente e $c$ é o inteiro tal que

$\displaystyle \varphi ^{c}(n)=2,$

então $n$ é um ${\text{número perfeito de totiente}}$.

Os primeiros número perfeito de totiente são:

3 , 9 , 15 , 27 , 39 , 81 , 111 , 183 , 243 , 255 , 327 , 363 , 471 , 729 , 2187 , 2199 , 3063 , 4359 , 4375 , 5571. (sequência A082897 em OEIS)

Por exemplo, considerando-se o número $243$ e aplicando-o a função de totiente , tem-se: $\varphi (243)=162,~\varphi (162)=54,~\varphi (54)=18,~\varphi (18)=6,~\varphi (6)=2,~\varphi (2)=1$.

Dado que $162,~54,~18,~6,~2,~1=243,~243$ é um ${\text{número perfeito de totiente}}$.

Propriedades matemáticas

Muitos número perfeito de totiente são múltiplos de $3$. O menor número perfeito de totiente não ser divisível por $3$ é $4375$. Todos os poderes de $3$ são números perfeitos de totiente, como pode ser verificado por indução observando que

$\displaystyle \phi (3^{k})=\varphi (2\cdot 3^{k})=2\cdot 3^{k-1}$.

Outra família de números perfeitos de totiente, encontrada por Venkataraman (1975), é que dada pela seguinte regra:

se $p=4x3^{k}+1$ é um número primo,(Mohan e Suryanarayana 1982), então $3p$ é um número perfeito de totiente.

Os valores principais de $k$ para os números perfeitos de totiente, desta forma são:

$0,~1,~2,~3,~6,~14,~15,~39,~201,~249,~1005,~1254,~1635,~3306,$ ... (sequência A005537 em OEIS).

De modo mais geral, se $p$ é um número primo maior do que $3$, e é um número perfeito de totiente $3p$, então $p\equiv 1{\pmod {4}}$ (Mohan e Suryanarayana 1982). Nem todos $p$ desta forma levar a números perfeitos de Totiente; por exemplo, $51$ não é um número perfeito de Totiente . Iannucci et al. (2003) mostrou que, se $9p$ é um número perfeito de Totiente, então $p$ é primo de uma das três formas específicas constantes do seu papel. Não se sabe se existem números perfeitos de Totiente de forma $3^{k}p$ onde $p$ é primo e $k>3$.

Ver também

• Função totiente de Euler
• Número natural