Número de Proth

Em teoria dos números, um número de Proth é um número da forma

N=k\cdot 2^{n}+1

onde $k$ é um número inteiro ímpar positivo e $n$ é um inteiro positivo tal que $2^{n}>k$ . São denominados em memória do matemático François Proth. Os primeiros números de Proth são

3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241 (sequência A080075 na OEIS).

Os números de Cullen (números da forma $n \cdot2 n + 1$ ) e números de Fermat (números da forma $2 2 n + 1$ ) são casos especiais dos números de Proth. Sem a condição de que $2^{n}>k$ , todos os inteiros ímpares maiores que 1 seriam números de Proth.^[1]

Primos de Proth[editar | editar código-fonte]

Um primo de Proth é um número de Proth que é um número primo. Os primeiros primos de Proth são

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857 (OEIS: A080076).

A primalidade de um número de Proth pode ser testada com o teorema de Proth, que estabelece^[2] que um número de Proth $p$ é primo se e somente se existe um inteiro $a$ para o qual

a^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}.

O maior conhecido primo de Proth (em 2016) é $10223\cdot 2^{31172165}+1$ , que tem 9 383 761 dígitos.^[3] Foi encontrado por Szabolcs Peter no distributed computing project do PrimeGrid anunciado em 6 de novembro de 2016.^[4] É também o maior conhecido não-primo de Mersenne.^[5]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

↑ Weisstein, Eric W. «Proth Number» (em inglês). MathWorld
↑ Weisstein, Eric W. «Proth's Theorem» (em inglês). MathWorld
↑ Caldwell, Chris. «The Top Twenty: Proth». The Prime Pages
↑ Van Zimmerman (30 de novembro de 2016) [9 Nov 2016]. «World Record Colbert Number discovered!». PrimeGrid
↑ Caldwell, Chris. «The Top Twenty: Largest Known Primes». The Prime Pages

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Grime, Dr. James. «78557 and Proth Primes» (video). YouTube. Brady Haran. Consultado em 2 de setembro de 2018

[1] Weisstein, Eric W. «Proth Number» (em inglês). MathWorld

[2] Weisstein, Eric W. «Proth's Theorem» (em inglês). MathWorld

[3] Caldwell, Chris. «The Top Twenty: Proth». The Prime Pages

[4] Van Zimmerman (30 de novembro de 2016) [9 Nov 2016]. «World Record Colbert Number discovered!». PrimeGrid

[5] Caldwell, Chris. «The Top Twenty: Largest Known Primes». The Prime Pages

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v d e Classes de números primos
Por fórmula	Fermat $(2^{2^{n}}+1)$ Mersenne $(2^{p}-1)$ Duplo de Mersenne $(2^{2^{p}-1}-1)$ Wagstaff ${\frac {(2^{p}+1)}{3}}$ Proth $(k\cdot 2^{n}+1)$ Factorial $(n!\pm 1)$ Primorial $(p_{n}\#\pm 1)$ Euclides $(p_{n}\#+1)$ Pitagórico $(4n+1)$ Pierpont $(2^{u}\cdot 3^{v}+1)$ Solinas $(2^{a}\pm 2^{b}\pm 1)$ Cullen $(n\cdot 2^{n}+1)$ Woodall $(n\cdot 2^{n}-1)$ Cubano ${\frac {(x^{3}-y^{3})}{(x-y)}}$ Carol ${(2^{n}-1)}^{2}-2$ Kynea ${(2^{n}+1)}^{2}-2$ Leyland $(x^{y}+y^{x})$ Thabit $(3\cdot 2^{n}-1)$ Mills (chão $(A^{3^{n}})$ )
Por sequência de inteiros	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Partições Pell Perrin Newman–Shanks–Williams
Por propriedade	Da sorte Wall–Sun–Sun Wilson Wieferich Par de Wieferich Afortunado Ramanujan Pillai Regular Forte Stern Supersingular Wolstenholme Bom Superprimo Higgs Altamente cototiente Ilegal
Dependentes de bases	Feliz Diédrico Palíndromo Omirp Repunit ${\frac {(10^{n}-1)}{9}}$ Permutável Circular Estrobogramático Mínimo Longo único Primeval Auto Smarandache–Wellin
Padrões	Gémeos $(p,p+2)$ Tripla $(p,p+2~ou~p+4,p+6)$ Quádrupla $(p,p+2,p+6,p+8)$ Tuplo Primos primos $(p,p+4)$ Sexy $(p,p+6)$ Chen Sophie Germain $(p,2p+1)$ Cadeia de Cunningham $(p,2p\pm 1,\ldots )$ Seguro $(p,{\frac {(p-1)}{2}})$ Progressão aritmética $(p+a\cdot n,n=0,1,\ldots )$ Equilibrado (consecutivos $p-n,p,p+n)$
Por dimensão	Titânico ( $1000+$ dígitos) Gigantesco ( $10000+$ ) Megaprimo ( $1000000+$ ) Maior conhecido
Números complexos	Eisenstein Gauss
Números compostos	Número pseudoprimo Quase primo Semiprimo Interprimo
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