Número duplo de Mersenne

Em matemática, um número duplo de Mersenne é um número de Mersenne da forma

$M_{M_n} = 2^{M_n}-1 = 2^{2^n-1}-1$

onde o exponente $2^n-1$ é também um número de Mersenne $M_n$, sendo n um natural.

Números duplos de Mersenne primos

Muitas vezes considera-se apenas os números duplos de Mersenne que são primos.

Como um número de Mersenne $M_p$ é primo só se $p$ é primo , então um número duplo de Mersenne $M_{M_p}$ é primo apenas se $M_p$ é também um número primo de Mersenne.
Os primeiros valores de p para os quais $M_p$ é primo são p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89. Desses, sabe-se que $M_{M_p}$ é primo para p = 2, 3, 5, 7. Para p = 13, 17, 19, já se encontraram fatores de forma explícita, ficando assim demonstrado que os números duplos de Mersenne correspondentes são compostos e não primos. Portanto, o candidato mais pequeno para ser um número duplo de Mersenne primo é $M_{M_61}$, ou seja, 2^{2305843009213693951} − 1. Com aproximadamente 6,94 × 10¹⁷ algarismos, este número é demasiado grande para qualquer teste de primalidade dos que se conhecem na atualidade, embora se saiba que não tem nenhum fator primo menor que 4 × 10³³.

Aqui fica a lista dos números duplos de Mersenne primos que se conhecem na atualidade:

$M_{M_2} = M_3 = 7$

$M_{M_3} = M_7 = 127$

$M_{M_5} = M_{31} = 2147483647$

$M_{M_7} = M_{127} = 170141183460469231731687303715884105727$ ((sequência A077586 na OEIS))

Números de Catalan-Mersenne

Seja $M(p) = M_p$. A sucessão definida de forma recursiva como:

2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... ((sequência A007013 na OEIS))

é conhecida como "sucessão dos números de Catalan-Mersenne". Diz-se que ocorreu a Catalan esta sucessão depois de Lucas descobrir em 1876 que $M(127)=M(M(M(M(2))))$ era primo.

Embora os cinco primeiros termos da sucessão (até $M(127)$) sejam primos, não se conhece qualquer método que ajude a elucidar se algum termo mais o é também.

Bibliografia

• L. E. Dickson, History of the theory of numbers, Carnegie Institute of Washington, 1919. Reimpresso por Chelsea Publishing, Nova Iorque, 1971.