Número duplo de Mersenne

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Em matemática, um número duplo de Mersenne é um número de Mersenne da forma

M_{M_n} = 2^{M_n}-1 = 2^{2^n-1}-1

onde o exponente 2^n-1 é também um número de Mersenne M_n, sendo n um natural.

Números duplos de Mersenne primos[editar | editar código-fonte]

Muitas vezes considera-se apenas os números duplos de Mersenne que são primos.

Como um número de Mersenne M_p é primo só se p é primo1 , então um número duplo de Mersenne M_{M_p} é primo apenas se M_p é também um número primo de Mersenne.
Os primeiros valores de p para os quais M_p é primo são p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89. Desses, sabe-se que M_{M_p} é primo para p = 2, 3, 5, 7. Para p = 13, 17, 19, já se encontraram fatores de forma explícita, ficando assim demonstrado que os números duplos de Mersenne correspondentes são compostos e não primos. Portanto, o candidato mais pequeno para ser um número duplo de Mersenne primo é M_{M_61}, ou seja, 22305843009213693951 − 1. Com aproximadamente 6,94 × 1017 algarismos, este número é demasiado grande para qualquer teste de primalidade dos que se conhecem na atualidade, embora se saiba que não tem nenhum fator primo menor que 4 × 1033.2

Aqui fica a lista dos números duplos de Mersenne primos que se conhecem na atualidade:

M_{M_2} = M_3 = 7
M_{M_3} = M_7 = 127
M_{M_5} = M_{31} = 2147483647
M_{M_7} = M_{127} = 170141183460469231731687303715884105727 ((sequência A077586 na OEIS))

Números de Catalan-Mersenne[editar | editar código-fonte]

Seja M(p) = M_p. A sucessão definida de forma recursiva como:

2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... ((sequência A007013 na OEIS))

é conhecida como "sucessão dos números de Catalan-Mersenne".3 Diz-se4 que ocorreu a Catalan esta sucessão depois de Lucas descobrir em 1876 que M(127)=M(M(M(M(2)))) era primo.

Embora os cinco primeiros termos da sucessão (até M(127)) sejam primos, não se conhece qualquer método que ajude a elucidar se algum termo mais o é também.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • L. E. Dickson, History of the theory of numbers, Carnegie Institute of Washington, 1919. Reimpresso por Chelsea Publishing, Nova Iorque, 1971.

Referências

  1. A demonstração está no artigo "Número de Mersenne"
  2. Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008.
  3. MathWorld: Catalan-Mersenne Number
  4. Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists nas Prime Pages.