Números primos gémeos

Em teoria dos números, dois números primos são números primos gémeos se a diferença entre eles for igual a dois. Os primeiros pares de números primos gémeos são 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, 29 e 31, 41 e 43, 59 e 61, 71 e 73, 101 e 103, 107 e 109 (sequência A001097 na OEIS). Os maiores números primos gêmeos conhecidos são 2.003.663.613 · 2^195.000±1, descobertos em janeiro de 2007. Existe um mil números primos gémeos abaixo de 100.000 e oito mil abaixo de 1.000.000.

'Teste para primos gémeos'

Sabemos que com exceção dos números 2 e 3 todos os números primos são da forma Ip=6K±1, porém a imensa maioria dos números da forma 6K±1 não são primos. O estudo dos números não primos da forma I=6K±1 nos leva a equação K=6k2k3±k2±k3. Dado um número qualquer K, se não ocorrer nenhum par de números inteiros k2,k3 que satisfaça a equação acima, temos que o par de números expresso por 6K±1 são primos gêmeos.

Infinidade

O problema de saber se existe uma infinidade de números primos gémeos é muito antigo, tendo Euclides conjecturado que sim. Esta conjectura é chamada de conjectura dos primos gémeos. Ao contrário do que se passa com o conjunto dos números primos, a série dos inversos dos números primos gêmeos converge, para a chamada constante de Brun. A conjectura dos primos gêmeos é generalizada pela conjectura de Hardy–Littlewood.

Caracterização

Em 1949 P.A. Clement demonstrou que (p,p+2) é um par de números primos gémeos se e somente se $4((p-1)! + 1) \equiv -p \pmod {p(p+2)}$ .

Curiosidades

Em 1994, Thomas Nicely descobriu o defeito de ponto flutuante do Pentium ao calcular a soma dos inversos dos números primos gémeos (a constante de Brun) até 10¹⁴ neste processador.

Ver também

• Número primo