Números de Leonardo

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Na matemática, os Números de Leonardo são uma sequência (sucessão, em Portugal) definida como recursiva pela fórmula abaixo:


  L(n): =
  \begin{cases}
    1               & \mbox{se } n = 0; \\
    1               & \mbox{se } n = 1; \\
    L(n-1)+L(n-2)+1 & \mbox{se } n > 1. \\
   \end{cases}

Edsger W. Dijkstra[1] usou-os como parte integrante de seu algoritmo de ordenação smoothsort, e também os analisou em detalhe.[2]

Eles estão relacionados com os números de Fibonacci pela relação L(n) = 2 * F(n+1) - 1, n \ge 0.

Dando a fórmula de Binet-like:

L(n) = 2 * \left( \frac{\Phi^{(n+1)} - \phi^{(n+1)}}{\Phi - \phi} \right) - 1 = \left( \frac{2}{\sqrt 5} \right) * (\Phi^{(n+1)} - \phi^{(n+1)}) - 1

onde \Phi=(1+\sqrt 5)/2 e \phi=(1-\sqrt 5)/2 são as raízes de x^2-x-1=0\,.

Os números iniciais da série de Leonardo são

1,\;1,\;3,\;5,\;9,\;15,\;25,\;41,\;67,\;109,\;177,\;287,\;465,\;753,\;1219,\;1973,\;3193,\;5167,\;8361, \ldots

Referências