Regra do produto

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Em matemática, a regra do produto, também designada por "lei de Leibniz", é uma regra que permite a diferenciação de produtos de funções diferenciáveis. Esta regra diz que a derivada de um produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda função mais a segunda função vezes a derivada da primeira função.[1]

Formalmente, a regra pode ser apresentada da seguinte maneira: sejam f e g duas funções diferenciáveis. Então,

Em linguagem matemática Em português
(fg)'={\color{OliveGreen}f'}{\color{YellowOrange}g}+{\color{red}f}{\color{blue}g'} A derivada do produto de f por g é igual à soma de dois produtos: 1) a derivada de f (representada em verde) vezes a função g (prepresentada em amarelo) e 2) a derivada de g (representada em azul) vezes a função f (representada em vermelho)
Ou, o que é a mesma coisa, {d\over dx} \left [ f(x)g(x) \right ] = {\color{YellowOrange}g(x)}{\color{OliveGreen}{d\over dx}\left [ f(x) \right ]}+{\color{red}f(x)} {\color{blue}{d\over dx}\left [ g(x) \right ]}

ou, segundo a notação de Leibniz:

{d\over dx}(uv)=u{dv\over dx}+v{du\over dx}.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Seja uma função h(x)=xe^x. Note que esta função é na verdade o produto de duas funções, que podemos chamar de f e g, sendo f(x)=x e g(x)=e^x. Para derivar h(x), utilizamos a regra do produto:

{dh\over dx} \left [ f(x)g(x) \right ] ={\color{YellowOrange}g(x)}*{\color{OliveGreen}{dh\over dx}\left [ f(x) \right ]} + {\color{red}f(x)}* {\color{blue}{dh\over dx}\left [ g(x) \right ]}  =

Substituindo f(x) por x, g(x) por e e^x, a derivada de g(x) por e^x (pois a derivada de e^x é e^x) e a derivada de f(x) por 1, teremos:

 = {dh\over dx} \left [ f(x)g(x) \right ] = {\color{YellowOrange}e^x}*{\color{OliveGreen}1} + {\color{red}x}* {\color{blue}e^x} = (x+1)e^x

Referências

  1. STEWART, James. Cálculo - volume 1. 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. Página 190.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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