Regra do produto

 Nota: Se procura pela regra do princípio da contagem, veja Regra do produto (combinatória).

Topicos em Cálculo

Teorema fundamental Limite de uma função Continuidade Teorema do valor médio Cálculo  Derivada Mudança de variáveis Funções implícitas e explícitas Teorema de Taylor Taxas relacionadas Regras e identidades: Regra do produto, Regra do quociente, Regra da cadeia Integral  Integral Tábua de integrais Integrais impróprias Integração por: partes, substituição trigonométrica, frações parciais, Ordem de integração Cálculo vetorial  Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Cálculo multivariável  Cálculo matricial Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana

Em matemática, a regra do produto, também designada por "lei de Leibniz", é uma regra que permite a diferenciação de produtos de funções diferenciáveis. Esta regra diz que a derivada de um produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda função mais a segunda função vezes a derivada da primeira função.

Formalmente, a regra pode ser apresentada da seguinte maneira: sejam f e g duas funções diferenciáveis. Então,

Em linguagem matemática	Em Português
$\,\!(fg)'={\color{OliveGreen}f'}{\color{YellowOrange}g}+{\color{red}f}{\color{blue}g'}$	A derivada do produto de f por g é igual à soma de dois produtos: 1) a derivada de f (representada em verde) vezes a função g (prepresentada em amarelo) e 2) a derivada de g (representada em azul) vezes a função f (representada em vermelho)
Ou, o que é a mesma coisa, ${d\over dx} \left [ f(x)g(x) \right ] = {\color{YellowOrange}g(x)}{\color{OliveGreen}{d\over dx}\left [ f(x) \right ]}+{\color{red}f(x)} {\color{blue}{d\over dx}\left [ g(x) \right ]}$

ou, segundo a notação de Leibniz:

${d\over dx}(uv)=u{dv\over dx}+v{du\over dx}.$

Exemplo

Seja uma função $h(x)=xe^x$. Note que esta função é na verdade o produto de duas funções, que podemos chamar de f e g, sendo f(x)=x e $g(x)=e^x$. Para derivar h(x), utilizamos a regra do produto:

${dh\over dx} \left [ f(x)g(x) \right ] ={\color{YellowOrange}g(x)}*{\color{OliveGreen}{dh\over dx}\left [ f(x) \right ]} + {\color{red}f(x)}* {\color{blue}{dh\over dx}\left [ g(x) \right ]} =$

Substituindo f(x) por x, g(x) por e $e^x$, a derivada de g(x) por $e^x$ (pois a derivada de $e^x$ é $e^x$) e a derivada de f(x) por 1, teremos:

$= {dh\over dx} \left [ f(x)g(x) \right ] = {\color{YellowOrange}e^x}*{\color{OliveGreen}1} + {\color{red}x}* {\color{blue}e^x} = (x+1)e^x$

Ver também

• Derivada
• Função composta
• Integral
• Cálculo