Composição de funções

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Em matemática, uma função composta é criada aplicando uma função à saída, ou resultado, de uma outra função, sucessivamente. Como uma função deve possuir um domínio e contradomínio bem definidos e estamos falando de aplicar funções mais de um vez, devemos ser precisos com relação a como estamos aplicando estas funções.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja:

f:X \rightarrow Y

e

g:Y \rightarrow Z

duas funções, Se o domínio de g contiver o contradomínio de f, podemos definir a função composta:

g\circ f:X \rightarrow Z

como:

g\circ f (x)= g(f(x))\quad \forall\ x \in X

Isto é ilustrado na figura abaixo:

Compfun.png

Associatividade[editar | editar código-fonte]

Pode-se então estender a definição para a composição de três ou mais funções, de maneira análoga. Sejam

f:A \rightarrow B  \mbox{, } g:B \rightarrow C \mbox{ e } h:C \rightarrow D.

É fácil mostrar que:

(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)\,

associatividade, então define-se a função composta:

h\circ g\circ f:A \rightarrow D

como:

(h\circ g\circ f) (x)= (h\circ g)(f(x)) = h(g(f(x)))\quad \forall\ x \in A

De uma forma geral, basta a imagem f(A) estar contida no domínio de g para podermos definir a função composta g\circ f (a definição rigorosa seria uma composição com a função inclusão).

Potência de uma função[editar | editar código-fonte]

Seja f: A \rightarrow A\,. Neste caso, pode-se definir f \circ f\,, f \circ f \circ f\,, etc. Pode-se portanto definir f^n\, (por indução: f^n \circ f = f \circ f^n = f^{n+1}\,) para n \ge 2\,. Definindo-se:

 f^0 = \mbox{Id}_A\,
 f^1 = f\,

Chega-se facilmente a:

f^n \circ f^m = f^{n + m}\,

Eventualmente, conforme a estrutura do conjunto A e da função f, é possível estender a definição de f^n\, para n inteiro (ou mesmo outros superconjuntos dos naturais).

Ver também[editar | editar código-fonte]

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