Tábua de integrais

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Uma tábua de integrais (ou tabela de integrais) é uma lista que relaciona funções a famílias de antiderivadas apropriadas. Associada às propriedades de integração, tais tabelas são ferramentas de auxílio no cálculo de integrais. Este artigo contém uma tabela de integração para funções comumente utilizadas. Ao longo do texto, a, c \in \mathbb{R} são constantes dadas e C denota uma constante indeterminada. As fórmulas estão apresentadas sem referência explícita do conjunto para a qual sejam válidas. Maiores informações sobre elas, bem como, suas demonstrações podem ser encontradas em livros textos de cálculo[1] [2] [3] e de compêndios de matemática[4] [5] .

Propriedades da Integral Indefinida[editar | editar código-fonte]

  • \int cf(x)\,dx = c\int f(x)\,dx
  • \int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
  • \int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\,dx

Integrais Indefinidas de Funções Simples[editar | editar código-fonte]

Funções Racionais[editar | editar código-fonte]

  • \int x^n\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ para }n \ne -1
  • \int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C
  • \int \frac{1}{a^2+x^2} \, dx = \frac{1} {a} \mbox{arc tg }\frac{x}{a} + C
  • \int \frac{1}{a^2 - x^2}dx = \frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a + x}{a - x}\right| + C

Logaritmos[editar | editar código-fonte]

  • \int \log_a x\,dx = x\log_a x - \frac{x}{\ln a} + C
  • \int \ln x\,dx = x (\ln x - 1) + C

Funções Exponenciais[editar | editar código-fonte]

  • \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C
  • \int e^x\,dx = e^x + C

Funções Irracionais[editar | editar código-fonte]

  • \int {1 \over \sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \mbox{arc sen } \frac{x}{a} + C
  • \int {-1 \over \sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \arccos {\frac{x}{a}} + C
  • \int \frac{1}{x\sqrt{x^2 - a^2}}dx = \frac{1}{a}\mbox{arc sec }\left|\frac{u}{a}\right| + C
  • \int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}}dx = \ln |x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C
  • \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \ln |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C
  • \int \frac{1}{x\sqrt{a^2 - x^2}}dx = -\frac{1}{a}\ln \left|\frac{a + \sqrt{a^2 - x^2}}{x}\right| + C
  • \int \frac{1}{x\sqrt{a^2 + x^2}}dx = -\frac{1}{a}\ln \left|\frac{a + \sqrt{a^2 + x^2}}{x}\right| + C

Funções Trigonométricas[editar | editar código-fonte]

  • \int \cos{x} \, dx = \sen{x} + C
  • \int \mbox{sen }{x} \, dx = -\cos{x} + C
  • \int \mbox{tg }{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C
  • \int \mbox{cossec }{x} \, dx = \ln{\left| \mbox{cossec }{x} - \mbox{cotg }{x}\right|} + C
  • \int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \mbox{tg }{x}\right|} + C
  • \int \mbox{cotg }{x} \, dx = \ln{\left| \mbox{sen }{x} \right|} + C
  • \int \sec{x} \mbox{tg }{x} \, dx = \sec {x} + C
  • \int \mbox{cossec }{x} \mbox{cotg }{x} \, dx = -\mbox{cossec }{x} + C
  • \int \sec^2 x \, dx = \mbox{tg }x + C
  • \int \mbox{cossec}^2 x \, dx = -\mbox{cotg }x + C
  • \int \mbox{sen}^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \mbox{sen }x \cos x) + C
  • \int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \mbox{sen }x \cos x) + C

Funções Hiperbólicas[editar | editar código-fonte]

  • \int \mbox{senh }x \, dx = \cosh x + C
  • \int \cosh x \, dx = \mbox{senh }x + C
  • \int \mbox{tgh }x \, dx = \ln (\cosh x) + C
  • \int \mbox{cossech}\,x \, dx = \ln\left| \mbox{tgh }{x \over2}\right| + C
  • \int \mbox{sech}\,x \, dx = \mbox{arctg }(\mbox{senh }x) + C
  • \int \mbox{cotgh }x \, dx = \ln|\mbox{senh }x| + C

Integrais Impróprias[carece de fontes?][editar | editar código-fonte]

  • \int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi
  • \int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi
  • \int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}
  • \int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}
  • \int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}

Funções Especiais[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Stewart, James. Cálculo - Volume 1. 7. ed. [S.l.]: Cengage, 2013. ISBN 9788522112586.
  2. Anton, Howard. Cálculo - Volume 1. 8. ed. [S.l.]: Bookman, 2007. ISBN 9788560031634.
  3. Leithold, Louis. Cálculo com Geometria Analítica - Volume 1. 3. ed. [S.l.]: Harbra, 1994. ISBN 8529400941.
  4. Bronstein, I.N.. Handbook of Mathematics. 5. ed. [S.l.]: Springer, 2007. ISBN 9783540721215.
  5. ABRAMOWITZ, M; STEGUN, I.A.; Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. National Bureau of Standards, Applied Mathematics, 1972.