Tábua de integrais

Tópicos em cálculo

Teorema fundamental Limites de funções Continuidade Cálculo vetorial Cálculo matricial Teorema do valor médio Derivação  Regra do produto Regra do quociente Regra da cadeia Mudança de variáveis Diferenciação implícita Teorema de Taylor Taxas relacionadas Tabela de derivadas Integração  Tábua de integrais Integral imprópria Integração por: partes, substituição, substituição trigonométrica, frações parciais Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Cálculo de várias variáveis  Cálculo matricial Derivada parcial Integral Múltipla Integral de linha Integral de Superfície Integral de volume Matriz jacobiana

Integração é uma das duas operações básicas em cálculo. Como, ao contrário da diferenciação, é uma operação não-trivial, existem tabelas de integrais conhecidas que frequentemente se mostram úteis. Esta página relaciona algumas das antiderivadas mais comuns.

Usa-se C como constante arbitrária de integração que só pode ser determinada se tivermos conhecimento do valor da integral em algum ponto específico. Cada função possui infinitas antiderivadas, diferenciadas entre si pelo valor específico de C.

O uso da plica ' denota a derivada da função em ordem a x.

Estas fórmulas são apenas outra forma de apresentação das asserções da tabela de derivadas e somente podem ser utilizadas para as integrais indefinidas.

Propriedades da Integral Indefinida

• $\int cf(x)\,dx = c\int f(x)\,dx$
• $\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$
• $\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left(d[f(x)]\int g(x)\,dx\right)dx$ ou, de outra forma,
• $\int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\,dx$

Integrais Indefinidas de Funções Simples

Funções Racionais

• $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ para }n \ne -1$
• $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C$
• $\int \frac{1}{a^2+x^2} \, dx = \frac{1} {a} arctan({x}/{a}) + C$

Logaritmos

• $\int \log_a x\,dx = x\log_a x - \frac{x}{\ln a} + C$
• $\int \ln x\,dx = x \ln x - x + C$

Funções Exponenciais

• $\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$
  • Caso particular: $a = e, \int e^x\,dx = e^x + C$

Funções Irracionais

• $\int {1 \over \sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \arcsin {\frac{x}{a}} + C$
  • Caso particular: $a = 1, \int {1 \over \sqrt{1-x^2}}\, dx = \arcsin {x} + C$
• $\int {-1 \over \sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \arccos {\frac{x}{a}} + C = (-1)arcsin {\frac{x}{a}} + C$
  • Caso particular: $a = 1, \int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \arccos {x} + C$

Funções Trigonométricas

• $\int \cos{x} \, dx = \sin{x} + C$
• $\int \sin{x} \, dx = -\cos{x} + C$
• $\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C$
• $\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C$
• $\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$
• $\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$
• $\int \sec{x} \tan{x} \, dx = \sec {x} + C$
• $\int \csc{x} \cot{x} \, dx = -\csc {x} + C$
• $\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$
• $\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$
• $\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C$
• $\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C$

Funções Hiperbólicas

• $\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$
• $\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$
• $\int \tanh x \, dx = \ln (\cosh x) + C$
• $\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C$
• $\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C = \arcsin(\tanh(x)) + C = 2\arctan(\exp(x)) + C$
• $\int \coth x \, dx = \ln|\sinh x| + C$

Integrais Impróprias

Existem funções cujas antiderivadas não podem ser expressas de forma fechada. No entanto, os valores das integrais definidas dessas funções em intervalos comuns podem ser calculados. Algumas integrais definidas de uso frequente estão relacionadas abaixo.

• $\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$
• $\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$
• $\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}$
• $\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}$
• $\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}$

Funções Especiais

Algumas funções são determinadas através de integrais definidas:

• A função gama $\Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1}\,e^{-x}\,dx$

Referências

• LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica., 3.ed. São Paulo, Harbra, 1994.
• Tabela de Integrais - www.profwillian.com (original: [1]), por Jack Pogorelsky Jr.