Tábua de integrais

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Integração é uma das duas operações básicas em cálculo. Como, ao contrário da diferenciação, é uma operação não-trivial, existem tabelas de integrais conhecidas que frequentemente se mostram úteis. Esta página relaciona algumas das antiderivadas mais comuns.

Usa-se C como constante arbitrária de integração que só pode ser determinada se tivermos conhecimento do valor da integral em algum ponto específico. Cada função possui infinitas antiderivadas, diferenciadas entre si pelo valor específico de C.

O uso da plica ' denota a derivada da função em ordem a x.

Estas fórmulas são apenas outra forma de apresentação das asserções da tabela de derivadas e somente podem ser utilizadas para as integrais indefinidas.

Propriedades da Integral Indefinida[editar | editar código-fonte]

  • \int cf(x)\,dx = c\int f(x)\,dx
  • \int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
  • \int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left(d[f(x)]\int g(x)\,dx\right)dx ou, de outra forma,
  • \int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\,dx

Integrais Indefinidas de Funções Simples[editar | editar código-fonte]

Funções Racionais[editar | editar código-fonte]

  • \int x^n\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ para }n \ne -1
  • \int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C
  • \int \frac{1}{a^2+x^2} \, dx = \frac{1} {a} arctan({x}/{a}) + C

Logaritmos[editar | editar código-fonte]

  • \int \log_a x\,dx = x\log_a x - \frac{x}{\ln a} + C
  • \int \ln x\,dx = x (\ln x - 1) + C

Funções Exponenciais[editar | editar código-fonte]

  • \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C
    • Caso particular: a = e, \int e^x\,dx = e^x + C

Funções Irracionais[editar | editar código-fonte]

  • \int {1 \over \sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \arcsin {\frac{x}{a}} + C
    • Caso particular: a = 1, \int {1 \over \sqrt{1-x^2}}\, dx = \arcsin {x} + C
  • \int {-1 \over \sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \arccos {\frac{x}{a}} + C = (-1)arcsin {\frac{x}{a}} + C
    • Caso particular: a = 1, \int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \arccos {x} + C

Funções Trigonométricas[editar | editar código-fonte]

  • \int \cos{x} \, dx = \sin{x} + C
  • \int \sin{x} \, dx = -\cos{x} + C
  • \int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C
  • \int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C
  • \int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C
  • \int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C
  • \int \sec{x} \tan{x} \, dx = \sec {x} + C
  • \int \csc{x} \cot{x} \, dx = -\csc {x} + C
  • \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
  • \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
  • \int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C
  • \int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C

Funções Hiperbólicas[editar | editar código-fonte]

  • \int \sinh x \, dx = \cosh x + C
  • \int \cosh x \, dx = \sinh x + C
  • \int \tanh x \, dx = \ln (\cosh x) + C
  • \int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C
  • \int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C = \arcsin(\tanh(x)) + C = 2\arctan(\exp(x)) + C
  • \int \coth x \, dx = \ln|\sinh x| + C

Integrais Definidas[editar | editar código-fonte]

Existem funções cujas antiderivadas não podem ser expressas de forma fechada. No entanto, os valores das integrais definidas dessas funções em intervalos comuns podem ser calculados. Algumas integrais definidas de uso frequente estão relacionadas abaixo.

  • \int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi
  • \int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi
  • \int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}
  • \int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}
  • \int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}

Funções Especiais[editar | editar código-fonte]

Algumas funções são determinadas através de integrais definidas:

Referências[editar | editar código-fonte]