Medida (matemática)

Em matemática, uma medida é uma função que atribui um peso aos subconjuntos de um conjunto S. Quando a medida é positiva e a medida de S é 1, diz-se que a medida é uma probabilidade.

Medida positiva (+)

Uma medida positiva num σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função $\mu:X\to[0,\infty]\,\!$ tal que:

• $\mu(\emptyset)=0$
• $\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)$, para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Os conjuntos de X chamam-se conjuntos mensuráveis.

São conseqüências diretas da definição de medida postiva:

• Não-negatividade:

$\mu(E)\ge 0,~~\forall E\in X\,$

• Monotonicidade

$A\subseteq B\Longrightarrow \mu(A) \leq \mu(B),~~~\forall A,B \in X\,$

Exemplos

• $\mu(E)=\left\{ \begin{array}{ll} 0,&E=\emptyset\\ 1,&E=S \end{array} \right.$

Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo.

• Medida de Dirac:

$\delta_{x_0}(E)=\left\{ \begin{array}{ll} 1,&x_0\in E\\ 0,&c.c. \end{array} \right.$

• As medidas de Borel e de Lebesgue em $\R$ verificam a propriedade $\lambda[a,b]=b-a\,\!$

Medida complexa

Uma medida complexa numa σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função $\mu:X\to\mathbb{C}\,\!$ tal que:

• $\mu(\emptyset)=0$
• $\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)$, para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente.

Exemplos

• Seja $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}\,$ uma função complexa Lebesgue integrável. Então

$\nu(E):=\int_E f(x)d\mu\,$ define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de $\mathbb{R}.$

Propriedades

Algumas medidas possuem propriedades adicionais:

• Medida completa:

Se $Z\,$ tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.)

• Medida invariante por translações:

$\mu(A+\lambda)=\mu(A),~~ \forall A\in X\,$, onde $A+\lambda=\{x+\lambda:x\in A\}$

(contanto que a soma esteja bem definida no espaço em questão.)

• Medida de Borel:

Os abertos e portanto todos os conjuntos borelianos são mensuráveis.

• Regularidade interior:

$\mu(A)=\sup_{K\subseteq A}\mu(K),~~\forall A \in X$ e $K\,$ são compactos.

• Regularidade exterior:

$\mu(A)=\inf_{A\subseteq V}\mu(V),~~\forall A \in X$ e $V\,$ são abertos.

• Medida finita: o espaço inteiro tem medida finita.

$\mu(S)<\infty\,$

• Medida $\sigma-$finita: o espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita.

$S=\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n,~~\mu(E_n)<\infty$

• Medida localmente finita: todo compacto é mensurável e tem medida finita

$\mu(K)<\infty\,$, para todo compacto $K\,$