Conjuntos disjuntos

A e B são dois conjuntos disjuntos.

Em matemática, dois conjuntos são ditos disjuntos se não tiverem nenhum elemento em comum. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos se sua interseção for o conjunto vazio.

Exemplos

• O conjuntos: $\{1,2,3\}\,$ e $\{6,7\}\,$ são disjuntos pois não possuem elementos em comum.
• O conjunto dos números pares e o conjuntos dos números impares são disjuntos, pois não existe um número que seja par e impar ao mesmo tempo.
• O conjunto dos números primos e o conjunto dos números pares não são disjuntos pois o número 2 é par e primo ao mesmo tempo.

Definição

Dois conjuntos $A\,$ e $B\,$ são ditos disjuntos se:

$A\cap B = \emptyset\,$

Uma família de conjuntos é dita disjunta dois a dois ou mutuamente disjunta se dados dois conjuntos quaisquer da família, eles são disjuntos. Mais formalmente falando, seja $A_\lambda\,$ uma família de conjuntos disjuntos indexados pelo índice $\lambda\in\Lambda\,$, então:

$A_i\cap A_j=\emptyset,~~\forall i,j\in\Lambda,~i\neq j\,$

Observe cuidadosamente que $\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda=\emptyset\,$ não implica que a família seja disjunta dois a dois. Um contra-exemplo seria: $\{\{1, 2\}, \{2, 3\}, \{3, 1\}\}\,$.

Partição

Uma partição é uma família $\{A_\lambda,\lambda\in\Lambda\}\,$ de subconjuntos disjuntos de um espaço $X\,$ cuja união é todo o espaço:

• $\bigcup_{\lambda\in \Lambda} A_i = X.\,$
• $A_i \cap A_j = \emptyset~~\forall i,j\in\Lambda,~i\neq j.\,$

Partições aparecem naturalmente como classes de equivalência em uma relação de equivalência.