Equação diferencial ordinária

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Em matemática e em particular na análise, uma equação diferencial ordinária (ou EDO) é uma equação que envolve as derivadas de uma função desconhecida de uma variável. Um exemplo simples de uma equação diferencial ordinária é

f' = f,\,

onde f é uma função desconhecida, e f' a sua derivada.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja y uma função de x e que

y', y'',\ \dots,\ y^{(n)}

denote as suas derivadas

\frac{dy}{dx},\ \frac{d^{2}y}{dx^2},\ \dots,\ \frac{d^{n}y}{dx^{n}}.

Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma equação que envolve

x,\ y,\ y',\ y'',\ \dots.

A ordem de uma equação diferencial é a ordem n da maior derivada na equação.

Uma solução de uma EDO é uma função y(x) cujas derivadas satisfazem a equação. Não está garantido que tal função exista, e caso exista, normalmente ela não é única.

Quanto à linearidade de uma equação diferencial ordinária de ordem n pode ser vista como uma função

F(x, y', y'',\ \dots,\ y^{(n)}) = 0, dizemos que a equação diferencial é linear se F for linear em y,y'(x), \ \dots, \ y^{(n)}(x). [1]

Ao que se refere aos coeficientes, uma equação diferencial pode ter coeficientes constantes ou funções da variável independente.

Quando uma equação diferencial de ordem n tem a forma

F(x, y', y'',\ \dots,\ y^{(n)}) = 0

é designada equação diferencial implícita, enquanto que a forma

F(x, y', y'',\ \dots,\ y^{(n-1)}) = y^{(n)}

é designada equação diferencial explícita.

Uma equação diferencial é autônoma se não depender explicitamente de x, e homogênea se todos os termos da equação diferencial dependem exclusivamente de x.

Exemplos práticos[editar | editar código-fonte]

Equações diferenciais são usadas muito frequentemente para descrever processos nos quais a mudança de uma medida ou dimensão é causada pelo próprio processo.

Historicamente, as primeiras equações diferenciais foram as relativas à aceleração igual ou desigual, que Galileo Galilei pôde medir, ainda que com métodos geométricos.

Isaac Newton e Gottfried Leibniz introduziram o cálculo diferencial e, este último, as equações diferenciais como as conhecemos hoje.

Por exemplo na Física, a lei da vida média prevê que o número de átomos que se decompõem por unidade de tempo numa massa de átomos instáveis dependem do total N dos átomos existentes (aqui é necessário considerar-se que, por ser N um número muito grande, pode-se considerar sua variação contínua e determinística; no caso de N ser um número pequeno deve-se considerar sua variação discreta e estocástica, e o método mais adequado é outro).

Desta forma, a diminuição do número de átomos é proporcional ao total de átomos:

 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}N(t) = c\; N(t).

Pelo cálculo da função N(t)\! nesta equação diferencial, torna-se possível determinar o número total de átomos a cada momento no tempo.

Um outro exemplo simples é o oscilador inalterado harmónico com a equação diferencial

 m\;a = m\; \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}x(t) = -k \; x(t).

A função procurada aqui é a função x(t)\!, cuja segunda derivada em relação ao tempo advém das leis do movimento.

Equações diferenciais específicas[editar | editar código-fonte]

Equações diferenciais lineares[editar | editar código-fonte]

Uma EDO é linear quando os termos envolvendo a função a ser determinada aparecem apenas de forma linear, ou seja, podemos escrever a EDO como

f_n(x) y^{(n)}(x) + f_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x) + \ldots + f_1(x) y'(x) + f_0(x) y(x) = q(x)\,

Esta equação é de grau n quando a função fn(x) não é identicamente nula.


Outros casos[editar | editar código-fonte]


Solução de uma Equação Diferencial Ordinária[editar | editar código-fonte]

Uma solução para uma equação diferencial é uma função que satisfaz a identidade da equação. A solução mais geral possível que admite uma equação diferencial é denominada solução geral enquanto que outra solução é chamada uma solução particular.[2]


Exemplo

y'+y=0

Solução particular: y(x)=e^{-x}

Solução geral: y(x)=Ce^{-x} (C constante)

As soluções se classificam em:

  • Solução geral - apresenta n constantes independentes entre si (n=ordem da EDO). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas C, 2C, C^{2}, \ln{C},...
  • Solução particular - obtida da geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais ou condições de contorno.[3]

Métodos para resolução de EDO[editar | editar código-fonte]

A habilidade em encontrar soluções exatas em geral depende da habilidade em reconhecer certos tipos de equações diferenciais e da aplicação de um método específico. Em outras palavras, o que funciona para um tipo de equações diferenciais não necessariamente se aplica a outro tipo.[4] Os métodos mais conhecidos são:

Os métodos citados são todos analíticos, ou seja, a solução pode ser encontrada de forma explícida. Duas formas adicionais são aplicadas:

Referências

  1. E. Boyce, William; Diprima, Richard C.. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno (em português). oitava ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. ISBN 978-85-216-1499-9
  2. Equações Diferenciais Ordinárias (em português). Página visitada em 09 de outubro de 2012.
  3. Equações Diferenciais (em português). Página visitada em 26 de outubro de 2012.
  4. Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis (em português). Página visitada em 06 de novembro de 2012.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]