Equação diferencial de Bernoulli

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A Equação diferencial de Bernoulli, cujo nome vem de Jakob Bernoulli, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem, da forma:

y' + P(x)y = Q(x)y^n\,\!. (0.1)

onde n é um qualquer número real. Para n \ne 0 e n \ne 1 esta equação diferencial não é linear.

Não confundir com a Equação de Bernoulli da Mecânica de fluidos.

Desenvolvimento[editar | editar código-fonte]

Para a resolver, vamos fazer uma mudança de variável dependente que a vai transformar numa equação diferencial linear de primeira ordem.

Começamos por dividir ambos membros por y^n:

y^{-n}y' + P(x)y^{1-n} = Q(x)\,\!. (0.2)

Seja agora

w = y^{1-n}\,\!

Derivando w obtemos

w' = (1 - n)y^{1-n-1}y' = (1 - n)y^{-n}y'\,\!

Multiplicando ambos membros de (0.2) por 1 - n, fica

(1 - n)y^{-n}y' + (1 - n)P(x)y^{1-n} = (1 - n)Q(x)\,\!. (0.3)

Ou seja,

w' + (1 - n)P(x)w = (1 - n)Q(x)\,\!. (0.4)

A última equação é uma equação diferencial linear que (supondo, como acima, P(x) e Q(x) contínuas) pode ser resolvida pelo processo anteriormente descrito, chegando-se à solução geral de (0.9), depois de se substituir w por y^{1-n}.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Vamos resolver a seguinte equação diferencial

\frac {dy}{dx} + \frac {1}{x}y = xy^2\,\!. (0.5)

Dividindo ambos os membros por y^2 fica

y'y^{-2} + \frac {1}{x}y^{-1} = x\,\!. (0.6)

Pondo

 w = y^{-1}\,\!.
w' = -y^{-2}y'\,\!.

A equação (0.6) é equivalente a

-y^{-2}y' - \frac {1}{x}y^{-1} = -x\,\!. (0.7)

Substituindo y por w, vem

w' - \frac {1}{x}w = -x\,\!. (0.8)

Usando a notação anterior,

P(x) = -\frac {1}{x}\,\! e Q(x) = -x\,\!.

\int_{}^{} P(x)\,dx = \int_{}^{} -\frac {1}{x}\,dx = -\ln |x| = \ln |x|^{-1}\,\!

onde

e^{\int_{}^{} P(x)\,dx} = e^{\ln |x|^{-1}} = |x|^{-1}\,\!

e

\int_{}^{} e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}Q(x)\,dx = \int_{}^{} |x|^{-1}(-x)\,dx = \left \{ \begin{matrix} \int_{}^{} -1\,dx, & \mbox{se }x \ge 0 \\ \int_{}^{} 1\,dx, & \mbox{se }x < 0 \end{matrix} \right. = \left \{ \begin{matrix} -x & \mbox{se }x \ge 0 \\ x & \mbox{se }x < 0 \end{matrix} \right. = - |x|.

A solução geral de (0.8) é dada por

e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}w = \int_{}^{} e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}Q(x)\,dx + C\,\!

ou seja,

|x|^{-1}w = -|x| + C\,\!. (0.9)

Para x \ne 0, (0.9) é equivalente a

w = -|x|^2 + C|x|\,\!,

ou seja, atendendo a que C é uma constante qualquer,

w = -|x|^2 + Cx\,\!.

Substituindo w por y^{-1}, vem

y^{-1} = -x^2 + Cx\,\!,

ou ainda,

y = \frac {1}{-x^2 + Cx}\,\!.

Ver também[editar | editar código-fonte]