Equação diferencial de Bernoulli

A Equação diferencial de Bernoulli, cujo nome vem de Jakob Bernoulli, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem, da forma:

$y' + P(x)y = Q(x)y^n\,\!$.

(0.1)

onde $n$ é um qualquer número real. Para $n \ne 0$ e $n \ne 1$ esta equação diferencial não é linear.

Não confundir com a Equação de Bernoulli da Mecânica de fluidos.

Desenvolvimento

Para a resolver, vamos fazer uma mudança de variável dependente que a vai transformar numa equação diferencial linear de primeira ordem.

Começamos por dividir ambos membros por $y^n$:

$y^{-n}y' + P(x)y^{1-n} = Q(x)\,\!$.

(0.2)

Seja agora

$w = y^{1-n}\,\!$

Derivando $w$ obtemos

$w' = (1 - n)y^{1-n-1}y' = (1 - n)y^{-n}y'\,\!$

Multiplicando ambos membros de (0.2) por $1 - n$, fica

$(1 - n)y^{-n}y' + (1 - n)P(x)y^{1-n} = (1 - n)Q(x)\,\!$.

(0.3)

Ou seja,

$w' + (1 - n)P(x)w = (1 - n)Q(x)\,\!$.

(0.4)

A última equação é uma equação diferencial linear que (supondo, como acima, $P(x)$ e $Q(x)$ contínuas) pode ser resolvida pelo processo anteriormente descrito, chegando-se à solução geral de (0.9), depois de se substituir $w$ por $y^{1-n}$.

Exemplo

Vamos resolver a seguinte equação diferencial

$\frac {dy}{dx} + \frac {1}{x}y = xy^2\,\!$.

(0.5)

Dividindo ambos os membros por $y^2$ fica

$y'y^{-2} + \frac {1}{x}y^{-1} = x\,\!$.

(0.6)

Pondo

$w = y^{-1}\,\!$.

$w' = -y^{-2}y'\,\!$.

A equação (0.6) é equivalente a

$-y^{-2}y' - \frac {1}{x}y^{-1} = -x\,\!$.

(0.7)

Substituindo $y$ por $w$, vem

$w' - \frac {1}{x}w = -x\,\!$.

(0.8)

Usando a notação anterior,

$P(x) = -\frac {1}{x}\,\!$ e $Q(x) = -x\,\!$.

$\int_{}^{} P(x)\,dx = \int_{}^{} -\frac {1}{x}\,dx = -\ln |x| = \ln |x|^{-1}\,\!$

donde

$e^{\int_{}^{} P(x)\,dx} = e^{\ln |x|^{-1}} = |x|^{-1}\,\!$

e

$\int_{}^{} e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}Q(x)\,dx = \int_{}^{} |x|^{-1}(-x)\,dx = \left \{ \begin{matrix} \int_{}^{} -1\,dx, & \mbox{se }x \ge 0 \\ \int_{}^{} 1\,dx, & \mbox{se }x < 0 \end{matrix} \right. = \left \{ \begin{matrix} -x & \mbox{se }x \ge 0 \\ x & \mbox{se }x < 0 \end{matrix} \right. = - |x|$.

A solução geral de (0.8) é dada por

$e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}w = \int_{}^{} e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}Q(x)\,dx + C\,\!$

ou seja,

$|x|^{-1}w = -|x| + C\,\!$.

(0.9)

Para $x \ne 0$, (0.9) é equivalente a

$w = -|x|^2 + C|x|\,\!$,

ou seja, atendendo a que C é uma constante qualquer,

$w = -|x|^2 + Cx\,\!$.

Substituindo $w$ por $y^{-1}$, vem

$y^{-1} = -x^2 + Cx\,\!$,

ou ainda,

$y = \frac {1}{-x^2 + Cx}\,\!$.

Ver também

• Equação diferencial
• Equação diferencial linear