Equações de Navier-Stokes

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As equações de Navier Stokes são equações diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos. São equações a derivadas parciais que permitem determinar os campos de velocidade e de pressão num escoamento. Foram denominadas assim após Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes desenvolverem um conjunto de equações que descreveriam o movimento das substâncias fluidas tais como líquidos e gases. Estas equações estabelecem que mudanças no momento e aceleração de uma partícula fluída são simplesmente o produto (resultado) das mudanças na pressão e forças viscosas dissipativas (similar a fricção) atuando dentro do fluido. Esta força viscosa se origina na interação molecular e atua como gavinhas para fluido. Atualmente, a equação geral foi resolvida pelo matemático cazaque Muchtarbai Otelbajew e está sendo analizada pelo comitê do Clay Mathematics Institute.[1]

Portanto, elas são um dos mais úteis conjuntos de equações, pois descrevem a física de um grande número de fenômenos de interesses econômicos e acadêmicos, inclusive em diversos ramos da engenharia. São usadas para modelar o clima, correntes oceânicas, fluxos da água em oceanos, estuários, lagos e rios, movimentos das estrelas dentro e fora da galáxia, fluxo ao redor de aerofólios (asas) de automóveis e de aviões, propagação de fumaça em incêndios e em chaminés industriais (dispersão). Também são usadas diretamente nos projetos de aeronaves e carros, nos estudos do fluxo sangüíneo (hemodinâmica), no projeto de usinas hidrelétricas, nos projetos de hidráulica marítima, na análise dos efeitos da poluição hídrica em rios, mares, lagos, oceanos e da dispersão da poluição atmosférica, etc... O modelo matemático muitas vezes deve ser complementado por um modelo físico num laboratório de hidráulica ou num túnel de vento, tendo em vista as suas limitações práticas para representar escoamentos tridimensionais.

As equações de Navier-Stokes, juntamente com as equações de Maxwell, podem ser úteis para a modelagem e para estudos na magnetodinâmica.

Estas são equações diferenciais que descrevem o movimento do fluido, e que diferentemente das equações algébricas, não procuram estabelecer uma relação entre as variáveis de interesse (por exemplo. velocidade e pressão). Em vez disto, elas estabelecem relações entre as taxas de variação ou fluxos destas quantidades. Em termos matemáticos, estas razões correspondem a suas derivadas. As equações de Navier-Stokes para o caso mais simples de um fluido ideal com viscosidade zero, estabelecem que a aceleração (a razão de variação da velocidade) é proporcional a derivada da pressão interna.

Isto significa que as soluções das equações de Navier-Stokes para um dado problema físico devem ser obtidas com a ajuda do cálculo. Em termos práticos, somente os casos mais simples podem ser resolvidos desta forma e suas soluções exatas são conhecidas. Estes casos freqüentemente envolvem fluxo não-turbulento em estado estacionário (o fluxo não varia como o tempo) no qual a viscosidade do fluido é grande ou sua velocidade pequena (número de Reynolds pequenos).

Para situações mais complexas, tais como um sistema de clima global como o El Niño ou a sustentação em uma asa, as soluções para a equação de Navier-Stokes freqüentemente devem ser encontradas com a ajuda de computadores. Este é um campo da ciência conhecido como CFD, sigla do inglês Computational Fluid Dynamics ou Dinâmica dos Fluidos Computacional.

Embora estas equações foram escritas no século 19, ainda não foi comprovado que, a três dimensões existem sempre soluções , ou que, se elas existem, então não contêm qualquer singularidade (ou infinito ou descontinuidade).[2] Existe um prêmio de 1.000.000 U$ que foi oferecido em Maio de 2000 pelo o Instituto de Matemática Clay para qualquer um que fizer progressos substanciais na direção de uma matemática teórica que possa ajudar a entender este fenômeno.[3]

Suposições básicas[editar | editar código-fonte]

Antes de entrar nos detalhes da equação de Navier-Stokes, é necessário fazer várias suposições à cerca dos fluidos. A primeira é que um fluido é um meio continuo. Isto significa que ele não contém vazios, como por exemplo, bolhas dissolvidas no gás, ou que ele não consiste de partículas como da neblina. Outra hipótese necessária é que todas as variáveis de interesse tais como pressão, velocidade, densidade, temperatura, etc., são diferenciáveis (isto é, não tem transição de fase).

Estas equações são obtidas de princípios básicos de conservação da massa, momento, e energia. Para este objetivo, algumas vezes é necessário considerar um volume arbitrariamente finito, chamado de um volume de controle, sobre o qual estes princípios possam ser facilmente aplicados. Este volume é representado por \Omega e sua superfície de confinamento por \partial \Omega. O volume de controle permanece fixo no espaço ou pode mover-se como o fluido. Isto conduz, contudo, para considerações especiais, como será mostrado a seguir.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Não linearidade[editar | editar código-fonte]

As equações de Navier-Stokes são equações diferenciais parciais não-lineares em praticamente todas as situações reais. Em alguns casos, tais como no fluxo unidimensional e no escoamento de Stokes, estas equações podem ser simplificados em equações lineares.[4] A não linearidade faz com que a maioria dos problemas sejam difíceis ou impossíveis de resolver e é o principal contribuinte para a turbulência que o modelo de equações.[5]

Turbulência[editar | editar código-fonte]

Na mecânica de fluidos, turbulência ou fluxo turbulento é um regime de fluido caótico, caracterizado por alterações de propriedade estocástica.[6]

Um fluxo sob regime turbulento pode dar-se em variadas situações, tanto em superfícies livre como em escoamentos confinados, sendo esta habitual em situações de caudal elevado. O parâmetro mais utilizado para a verificação da existência deste regime é o número de Reynolds, sendo que caso o valor deste seja superior a 2500, o regime é considerado turbulento.[7] [8]

A derivada material[editar | editar código-fonte]

As mudanças nas propriedades de um fluido em movimento podem ser medidas de duas formas diferentes. Isso será ilustrado através de um exemplo, utilizando a medição da velocidade do vento na atmosfera. Uma forma de medir estas mudanças é com a ajuda de anemômetro em uma estação climática, ou pela liberação de um balão atmosférico. Claro que o primeiro caso é mais indicado para medição da velocidade de todas as partículas que passam através de um ponto fixo no espaço. Contudo, no segundo caso, o instrumento está medindo mudanças na velocidade a medida que ele se move com o fluido. A mesma situação surge com medidas da mudança da densidade, temperatura, etc. Contudo, quando aplicamos uma diferenciação devemos destacar as diferenças destes dois casos. A derivada de um campo com respeito a uma posição fixa no espaço é conhecida como espacial ou derivada de Euler. A derivação acompanhando o movimento de uma partícula é chamada de substantiva ou derivada Lagrangiana.

A derivada material é definida pelo operador:

\frac{D}{Dt}(\cdot) \equiv \frac{\partial(\cdot)}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)(\cdot)

onde \mathbf{v} é a velocidade do fluido. O primeiro termo do lado direito da equação é a derivada tradicional de Euler (isto é, a derivada com referência a um ponto fixo de referência) contudo o segundo termo representa as mudanças trazidas pelo movimento do fluido.

Leis de Conservação[editar | editar código-fonte]

As equações de Navier-Stokes são derivadas dos princípios da conservação da:

Adicionalmente, é necessário assumir uma relação constitutiva ou equação de estado para o fluido.

Na sua forma mais geral, uma lei de conservação estabelece que a razão de mudança de uma propriedade continua L definida em todo volume de controle deve ser igual aquilo que é perdido através das fronteiras do volume, carregado para fora pelo movimento do fluido, mais o que é criado/consumido pelas fontes e sorvedouros dentro do volume de controle. Isto é expresso pela equação integral:

\frac{d}{dt}\int_{\Omega} L \; d\Omega = -\int_{\partial\Omega} L\mathbf{v\cdot n} d\partial\Omega+ \int_{\Omega} Q d\Omega

Onde v é a velocidade do fluido e Q representa as fontes e sorvedouros no fluido.

Se o volume de controle é fixado no espaço então a equação integral pode ser expressa assim:

\frac{d}{d t} \int_{\Omega}  L d\Omega = -\int_{\Omega} \nabla\cdot ( L\mathbf{v} ) d\Omega + \int_{\Omega} Q d\Omega

Note que o teorema da divergência de Gauss foi usado na dedução desta última equação, de forma a expressar o primeiro termo do lado direito no interior do volume de controle Portanto:

 \frac{d}{dt}\int_{\Omega} L d\Omega = - \int_{\Omega} (\nabla\cdot ( L\mathbf{v} ) - Q) d\Omega

A expressão acima é válida para \Omega, que é um volume de controle que permanece fixo no espaço. Devido a \Omega não variar no tempo, é possível trocar os operadores "\frac{d}{dt}" e " \int_{\Omega}^{} d\Omega". E como esta expressão é valida para todos os domínios podemos, além disso, remover a integral.

Com a introdução da derivada material obtemos, quando  Q = 0 (nenhuma fonte ou sorvedouro):

\frac{\partial}{\partial t} L + \nabla\cdot\left(L \mathbf{v} \right) = \frac{D}{Dt}L + L \left(\nabla\cdot \mathbf{v}\right) = 0

Equação da continuidade[editar | editar código-fonte]

A conservação da massa é descrita assim:

\frac{\partial \rho}{\partial t} +
\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) = 0

=\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho\nabla\cdot\mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \nabla \rho

=\frac{D \rho}{D t} + \rho \nabla \cdot \mathbf{v} = 0

onde \rho é a densidade de massa (massa por unidade de volume), e v é a velocidade do fluido.

No caso de um fluido incompressível, \rho não é uma função do tempo ou espaço e a equação se reduz a:

\nabla\cdot\mathbf{v} = 0:

Conservação do momento[editar | editar código-fonte]

\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho v_i \right) + \nabla
\cdot (\rho v_i \mathbf{v}) =
\rho f_i .

 \rho f_i é a i-ésima componente da força atuando no fluido (sempre força por unidade de volume. As forças comumente encontradas incluem a gravidade e gradientes de pressão. Isto também pode ser expresso como:

\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho\mathbf{v}\right) + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}\otimes\mathbf{v}) = \rho \mathbf{f}

Note que \mathbf{v}\otimes\mathbf{v} é um tensor, o \otimes representa o produto tensorial.

Nos podemos simplificar isto mais, usando a equação de continuidade, obtendo:

\rho\frac{D v_i}{D t}=\rho f_i

a qual é frequentemente escrita como:

\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t}=\rho \mathbf{f}

Na qual reconhecemos o usual F=ma.

A equação[editar | editar código-fonte]

Forma Geral[editar | editar código-fonte]

A forma das equações[editar | editar código-fonte]

A forma geral das equações de Navier-Stokes para a conservação do momento é:

\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t} = \nabla \cdot\mathbb{P} + \rho\mathbf{f}

Onde: 
\mathbb{P} = \begin{pmatrix}
p&0&0\\
0&p&0\\
0&0&p
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\sigma_{xx} &  \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} &  \tau_{zy} & \sigma_{zz}
\end{pmatrix}

onde os \sigma são a tensão normal, \tau tensão tangencial (tensão cisalhamento), e p é a pressão estática, associada como a parte isotrópica do tensor de tensões sem considerar se o fluido está ou não em equilíbrio.

Finalmente, temos:

\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t} = -\nabla p + \nabla \cdot\mathbb{T} + \rho\mathbf{f}

onde \mathbb{T} é a somatória da diagonal principal de \mathbb{P}.

Esta equação está ainda incompleta. Para completá-la, deve ser feita uma hipótese na forma de \mathbb{P}, que é uma necessária lei constitutiva para o tensor de tensões como mostrado abaixo.

O fluxo é tido como sendo diferenciável e contínuo, permitindo que as leis de conservação sejam expressas como equações diferenciais parciais. No caso de fluidos incompressíveis (densidade constante), as variáveis a serem selecionadas são os componentes da pressão e velocidade. Os três componentes das equações de Navier-Stokes mais a conservação da massa (equação de continuidade) formam um sistema fechado de equações diferenciais parciais bem definidas para estas variáveis, que pode ser resolvido, em principio, para condições de contorno adequadas.

A equação pode ser convertida para equações de Wilkinson pelo uso de variáveis secundárias vorticidade e função de fluxo. A solução depende das propriedades do fluxo (tais como viscosidade, calor específico, e condutividade térmica), e das soluções de contorno do domínio de estudo.

Formas especiais[editar | editar código-fonte]

Estas são algumas simplificações usuais do problema para as quais algumas soluções são conhecidas.

Fluidos Newtonianos[editar | editar código-fonte]

Nos fluidos Newtonianos as seguintes hipóteses são válidas:

p_{ij}=-p\delta_{ij}+\mu\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i}-\frac{2}{3}\delta_{ij}\nabla\cdot\mathbf{v}\right)

onde:

\mu é a viscosidade do fluido.
\delta_{ij} é o delta Kronecker (1 for i=j; 0 for i \ne j).

Para entender como isto foi derivado, notemos primeiro que no equilibrio, pij=-pδij. Para um fluido Newtoniano, a variação do tensor força covariante do valor de equilíbrio é linear no gradiente da velocidade. Ele obviamente não pode depender da própria velocidade devido a Covariância de Galileu. Em outras palavras, pij+pδij é linear na \partial_i v_j. O fluido que são considerados aqui são invariante rotacionalmente (isto é, eles não são cristais líquidos.

Fluidos Bingham[editar | editar código-fonte]

Nos fluidos de fluidos Bingham, nos temos algo ligeiramente diferente:

\tau_{ij}=\tau_0 + \mu\frac{\partial v_i}{\partial x_j},\;\frac{\partial v_i}{\partial x_j}>0

Estes são fluidos capazes de suportar algum força de cisalhamento antes de iniciar o fluxo. Alguns exemplos comuns são pasta de dente e massa de modelagem.

Fluidos Incompressiveis[editar | editar código-fonte]

A equação de Navier-Stokes são


\rho\frac{Du_i}{Dt}=\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{\partial}{\partial x_j}\left[
2\mu\left(e_{ij}-\frac{\Delta\delta_{ij}}{3}\right)\right]

Para conservação de momento e

\nabla\cdot\mathbf{v}=0

para conservação da massa.

onde

\rho é a densidade,
u_i (i=1,2,3) são os tres components da velocidade,
f_i forces que atuam no corpo (tais como a gravidade),
p a pressão,
\mu a viscosidade dinâmica, de um ponto do fluido;
e_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right);
\Delta=e_{ii} é a divergência,
\delta_{ij} é o delta Kronecker.

Se \mu é constante em todo o fluido, o momento da equação acima é simplificado para


\rho\frac{Du_i}{Dt}=\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i}
+\mu
\left(
  \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j}+                                                                                                                                         \frac{1}{3}\frac{\partial\Delta}{\partial x_i}\right)

Se agora adicionalmente \rho é assumido constante nos obtemos o seguinte sistema:

 \rho \left({\partial v_x \over \partial t}+ v_x {\partial v_x \over \partial x}+ v_y {\partial v_x \over \partial y}+ v_z {\partial v_x \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_x \over \partial x^2}+{\partial^2 v_x \over \partial y^2}+{\partial^2 v_x \over \partial z^2}\right]-{\partial p \over \partial x} +\rho g_x
 \rho \left({\partial v_y \over \partial t}+ v_x {\partial v_y \over \partial x}+ v_y {\partial v_y \over \partial y}+ v_z {\partial v_y \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_y \over \partial x^2}+{\partial^2 v_y \over \partial y^2}+{\partial^2 v_y \over \partial z^2}\right]-{\partial p \over \partial y} +\rho g_y
 \rho \left({\partial v_z \over \partial t}+ v_x {\partial v_z \over \partial x}+ v_y {\partial v_z \over \partial y}+ v_z {\partial v_z \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_z \over \partial x^2}+{\partial^2 v_z \over \partial y^2}+{\partial^2 v_z \over \partial z^2}\right]-{\partial p \over \partial z} +\rho g_z

Equação de continuidade (assumindo incompressibilidade):

 {\partial v_x \over \partial x}+{\partial v_y \over \partial y}+{\partial v_z \over \partial z}=0

Note que as equações de Navier-Stokes podem somente descrever o fluxo de um fluido aproximadamente, a uma escala extremamente pequenas ou sob condições extremas, fluidos reais são constituídos de uma mistura de moléculas discretas e outros materiais, tais como partículas em suspensão e gases dissolvidos, o que ira produzir resultados diferentes dos obtidos de um fluido continuo e homogêneo modelado pela equações de Navier-Stokes. Dependendo do número de Knudsen do problema, a mecânica estatística deve ser uma abordagem mais apropriada. Contudo, as equações de Navier-Stokes são úteis para um grande número de problemas práticos, dentro de suas limitações.

Simplificações adicionais e notação Vectorial e Integral[editar | editar código-fonte]

As equações de Navier-Stokes podem-se expressar numa forma mais simplificada tomando as diferentes propriedades como constantes o variáveis, e supondo escoamentos em regime permanente, por exemplo. Além disso, resulta mais pratico o uso da notação indicial, especialmente no caso da programação em aplicações de simulação numérica.[9]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. "Mathematik: Kasache will Millenniumsproblem gelöst haben - Der Spiegel". Página visitada em 22 de janeiro de 2014.
  2. Historical Notes: Navier-Stokes equations wolframscience.com. Visitado em 15-Abril-2010.
  3. Clay Mathematics Institute www.claymath.org. Visitado em 15-Abril-2010.
  4. Fluid Dynamics and the Navier-Stokes Equations universe-review.ca. Visitado em 15-Abril-2010.
  5. SNENS III - solução numérica das equações de Navier-Stokes: escoamentos... www.bv.fapesp.br. Visitado em 15-Abril-2010.
  6. Glossary of Fluid Mechanics Terms www.efunda.com. Visitado em 19-Abril-2010.
  7. Turbulence and the Navier-Stokes Equations 209.85.129.132. Visitado em 19-Abril-2010.
  8. TURBULENCE AND THE NAVIER-STOKES EQUATIONS 74.125.77.132. Visitado em 19-Abril-2010.
  9. Equações de Navier-Stokes Flórez-Orrego,Daniel, Escola Politécnica da USP. Visitado em 08-Agosto-2012.
  • Inge L. Rhyming Dynamique des fluides, 1991 PPUR
  • A.D. Polyanin, A.M. Kutepov, A.V. Vyazmin, and D.A. Kazenin, Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27237-8