Função contínua

Esta função é descontínua nos inteiros.

Em matemática, uma função é contínua quando, intuitivamente, a pequenas variações nos objectos correspondem pequenas variações nas imagens. Nos pontos onde a função não é contínua, diz-se que a função é descontínua, ou que se trata de um ponto de descontinuidade.

Continuidade num espaço topológico

Diz-se que uma função $f:X\rightarrow Y$ entre espaços topológicos é contínua se a imagem recíproca de qualquer aberto de $Y\,\!$ é um aberto de $X\,\!$.

Exemplos

• Estes exemplos usam propriedades da imagem recíproca, ou seja, dada uma função $f: X \rightarrow Y\,$ e um conjunto $A \subset Y\,$, o conjunto $f^{-1}(A) = \{ x \in X | f(x) \in A \}\,$.
• Seja X um conjunto com a topologia discreta $\tau_X = P(X)\,$, Y com qualquer topologia e f qualquer função $f: X \rightarrow Y\,$. Então, como $\forall A , f^{-1}(A) \in P(X)\,$, temos que f é uma função contínua.
• Seja Y um conjunto com a topologia grosseira $\tau_Y = \{ \varnothing , Y \} \,$, X com qualquer topologia e f qualquer função $f: X \rightarrow Y\,$. Então, como os dois únicos abertos de $\tau_Y\,$ são $\varnothing\,$ e Y, basta verificar se suas imagens inversas são abertos. Mas $f^{-1}(\varnothing) = \varnothing\,$ e $f^{-1}(Y) = X\,$, e, por definição, $\varnothing\,$ e X são abertos em qualquer topologia em X.
• Sejam $f: X \rightarrow Y\,$ e $g: Y \rightarrow Z\,$ funções contínuas. Então $g o f: X \rightarrow Z\,$ também é uma função contínua. Prova: qualquer que seja $A \subset Z\,$ aberto, pela continuidade de g, temos que $g^{-1}(A)\,$ é um aberto em Y. Portanto, pela continuidade de f, $f^{-1}(g^{-1}(A))\,$ é um aberto em X. Mas $f^{-1}(g^{-1}(A)) = (g o f)^{-1}(A)\,$, o que prova a continuidade de g o f.

Continuidade num espaço métrico

Diz-se que uma função f é contínua no ponto x=a se existir o limite de f(x) com x tendendo a a e esse limite for igual a f(a).

Em análise real, essa definição é escrita na forma tradicional Epsilon-Delta, ou seja, diz-se que uma função f é contínua num ponto a do domínio se, dado $\epsilon > 0, \exist \delta > 0$ tal que se $a - \delta < x < a + \delta$ então $f(a) - \epsilon < f(x) < f(a) + \epsilon$.

Esta definição, com uma pequena adaptação, pode ser usada para uma função de um espaço métrico E em outro espaço métrico F: a função f é contínua em $a \in E\,$ quando dado $\epsilon > 0, \exist \delta > 0$ tal que $\forall x \in E, d_E(x, a) < \delta \rightarrow d_F(f(x), f(a)) < \epsilon\,$.

Diz-se que f é contínua em seu domínio, ou simplesmente contínua, se ela for contínua em todos os pontos desse domínio.

Equivalência das Definições

Se E e F são espaços métricos, e $\tau_E \mbox{ e } \tau_F\,$ as topologias geradas pelas métricas em E e F, então uma função $f: E \rightarrow F\,$ é contínua pela definição usando topologias se, e somente se, ela é contínua pela definição usando métricas.

Função Sequencialmente Contínua

Uma função $f: E \rightarrow F\,$, em que E e F são espaços topológicos, é sequencialmente contínua em um ponto $a \in E\,$ quanto ela comuta com o limite de sequências, ou, em outras palavras, quando para toda sequência $x_i \in E\,$ cujo limite (em E) seja a, temos que o limite (em F) de $f(x_i)\,$ é f(a). Uma forma elegante de escrever isso é $\lim_{i \rightarrow \infty} f(x_i) = f(\lim_{i \rightarrow \infty} x_i)\,$.

Definição em termos de limites

Uma função $f(x)\,$ é dita ser contínua em um ponto $a\,$ de seu domínio se:

$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\,$

Observa-se que esta definição exige que o limite à esquerda exista assim como o limite da direita e que a função esteja definida no ponto com o mesmo valor de limite para o ponto.

Função Composta

Se $f: E \to F\,$ e $g: F \to G\,$ são funções contínuas, então é imediato (pela definição usando topologias) que a função composta $g o f: E \to G\,$ é contínua.

Propriedades

• Se $f:X \rightarrow Y$ é uma bijeção contínua de um espaço topológico compacto X em um espaço topológico de Hausdorff Y, então f é um homeomorfismo.

• O conjunto dos zeros de uma aplicação contínua entre um espaço topológico X e a reta real $\mathbb{R}$, com a topologia usual, é um conjunto fechado. Em particular, o conjunto das matrizes singulares é fechado em $\mathbb{R}^{n\times n}$, pois o determinante define uma aplicação contínua nesse espaço.

• Sejam X e Y dois espaços topológicos, $U \subset X$ e $f:X \rightarrow Y$ uma aplicação contínua. Então f restrita a U ainda é uma aplicação contínua.