Integração por substituição trigonométrica

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A substituição trigonométrica é uma técnica de integração muito utilizada quando ocorre integrando algébricos. Ela se baseia no fato que identidades trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de um função algébrica por uma função trigonométrica, que pode ser mais facilmente integrada.

Substituição Trigonométrica

Antes de alguns exemplos, é bom saber quais são as possíveis substituições adequadas. Uma maneira simples de descobrir tais substituições consiste no uso da fórmula fundamental da trigonometria $sen^2 \theta\ + cos^2 \theta\ = 1$

É fácil de perceber, que as funções $sen^2 \theta\$ e $cos^2 \theta\$ podem ser obtidas, passando um delas para o outro lado e subtraindo de 1. Obtendo as seguintes fórmulas:

$cos^2 \theta\ = 1- sen^2 \theta\$

$sen^2 \theta\ = 1-cos^2 \theta\$

Fórmulas de outras funções trigonométricas como tangente e secante, podem ser obtidas dividindo ambos os lados da equação fundamental da trigonometria por um fator conveniente. Por exemplo, para se obter uma relação envolvendo a tangente e a secante divide-se ambos os lados da equação por $cos^2 \theta$

$sen^2 \theta\ + cos^2 \theta\ = 1$

$\frac{sen^2 \theta}{cos^2 \theta} + \frac{cos^2 \theta}{cos^2 \theta} =\frac{1}{cos^2 \theta}$

Resultando em:

$tan^2 \theta\ = sec^2 \theta\ - 1$

Essas substituições podem ser sumarizadas da seguinte forma:

$1-sen^2 \theta\ = cos^2 \theta$ para $\sqrt{a^2-x^2}$, sendo a uma constante positiva.

$1+\tan^2\theta\;=\;\sec^2\theta$ para $\sqrt{a^2+x^2}$, com a > 0

$\sec^2\theta-1\;=\;\tan^2\theta$ para $\sqrt{x^2-a^2}$, sendo a maior do que zero, constante.

Substituição inversa

Deve ser ter em mente que a substituição trigonométrica não é inteiramente igual a substituição clássica onde uma variável é colocada em função de x (a incógnita original da equação), mas sim o contrario será feito.

$u = \phi\ (x)$

$x=\phi\ ^ {-1}(u)$ , $dx=[\phi\ ^ {-1}]'(u) du$

$\int f(x)dx =\int f(u)[\phi\ ^ {-1}]'(u) du$

Exemplo

Considere a integral $\int \sqrt{16-x^2}dx$ usando a substituição $x=4 sen \theta\$, obtem-se $dx=4 cos \theta\ d \theta\$

$\int \sqrt{16(1-sen^2 \theta)} 4\ cos \theta\ d\theta$

$16 \int \ cos^2 \theta\ d\theta$

A integral de cosseno ao quadrado pode ser feito utilizando integração por partes

$u= cos \theta , dv=cos\theta\ d\theta$

$\int cos^2 \theta\ d\theta = cos \theta\ sen\theta + \int sen^2 \theta\ d\theta$

$\int cos^2 \theta\ d\theta = cos \theta\ sen\theta + \int 1\ d\theta - \int cos^2 \theta\ d\theta$

$\int cos^2 \theta\ d\theta= \frac{cos \theta\ sen\theta}{2} + \frac{\theta}{2}$

Voltando a equação original

$16 \int cos^2 \theta\ d\theta= 16 (\frac{cos \theta\ sen\theta}{2} + \frac{\theta}{2})$

Agora deve se voltar a incógnita original, isso pode ser feito traspondo o ângulo $\theta$ para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a $\theta$ igual a $x$, conseqüentemente o cateto adjacente ao ângulo $\theta$ valerá $\sqrt{16-x^2}$. Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações:

$cos\theta =\frac {\sqrt{16-x^2}}{4}$

$sen \theta = \frac {x}{4}$

O ângulo $\theta$ pode ser expresso como$arcsen \frac{x}{4}$ Obtendo assim como resposta final:

$\frac{x \sqrt{16-x^2}}{2} + 8 {arcsen \frac{x}{4}} + C$