Integração por substituição trigonométrica

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A substituição trigonométrica é uma técnica de integração muito utilizada quando ocorre integrando algébricos. Ela se baseia no fato que identidades trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de um função algébrica por uma função trigonométrica, que pode ser mais facilmente integrada.

Substituição Trigonométrica[editar | editar código-fonte]

Antes de alguns exemplos, é bom saber quais são as possíveis substituições adequadas. Uma maneira simples de descobrir tais substituições consiste no uso da fórmula fundamental da trigonometria sen^2 \theta\  + cos^2 \theta\ = 1

É fácil de perceber, que as funções  sen^2 \theta e  cos^2 \theta podem ser obtidas, passando um delas para o outro lado e subtraindo de 1. Obtendo as seguintes fórmulas:

cos^2 \theta\ = 1- sen^2 \theta
sen^2 \theta\ = 1-cos^2 \theta

Fórmulas de outras funções trigonométricas como tangente e secante, podem ser obtidas dividindo ambos os lados da equação fundamental da trigonometria por um fator conveniente. Por exemplo, para se obter uma relação envolvendo a tangente e a secante divide-se ambos os lados da equação por cos^2 \theta

sen^2 \theta\  + cos^2 \theta\ = 1
\frac{sen^2 \theta}{cos^2  \theta}  + \frac{cos^2 \theta}{cos^2 \theta} =\frac{1}{cos^2 \theta}

Resultando em:

tan^2 \theta\ = sec^2 \theta\ - 1

Essas substituições podem ser sumarizadas da seguinte forma:

1-sen^2 \theta\ = cos^2 \theta para \sqrt{a^2-x^2}, sendo a uma constante positiva.
1+\tan^2\theta\;=\;\sec^2\theta para \sqrt{a^2+x^2}, com a > 0
\sec^2\theta-1\;=\;\tan^2\theta para \sqrt{x^2-a^2}, sendo a maior do que zero, constante.

Substituição inversa[editar | editar código-fonte]

Deve ser ter em mente que a substituição trigonométrica não é inteiramente igual a substituição clássica onde uma variável é colocada em função de x (a incógnita original da equação), mas sim o contrario será feito.

 u = \phi\ (x)
 x=\phi\ ^ {-1}(u) ,  dx=[\phi\ ^ {-1}]'(u) du
 \int f(x)dx =\int f(u)[\phi\ ^ {-1}]'(u) du

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a integral \int \sqrt{16-x^2}dx usando a substituição x=4 sen \theta, obtem-se dx=4 cos \theta\ d \theta

\int \sqrt{16(1-sen^2 \theta)}  4\ cos \theta\ d\theta
16 \int  \ cos^2 \theta\ d\theta

A integral de cosseno ao quadrado pode ser feito utilizando integração por partes

u= cos \theta , dv=cos\theta\ d\theta
\int cos^2 \theta\ d\theta = cos \theta\ sen\theta + \int sen^2 \theta\ d\theta
\int cos^2 \theta\ d\theta = cos \theta\ sen\theta + \int 1\  d\theta - \int cos^2 \theta\ d\theta
\int cos^2 \theta\ d\theta= \frac{cos \theta\ sen\theta}{2} + \frac{\theta}{2}

Voltando a equação original

 16  \int cos^2 \theta\ d\theta= 16 (\frac{cos \theta\ sen\theta}{2} +  \frac{\theta}{2})

Agora deve se voltar a incógnita original, isso pode ser feito traspondo o ângulo \theta para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a \theta igual a x, conseqüentemente o cateto adjacente ao ângulo \theta valerá \sqrt{16-x^2}. Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações:

 cos\theta =\frac {\sqrt{16-x^2}}{4}
 sen \theta = \frac {x}{4}

O ângulo \theta pode ser expresso comoarcsen \frac{x}{4} Obtendo assim como resposta final:

\frac{x \sqrt{16-x^2}}{2} + 8 {arcsen \frac{x}{4}} + C