Integral de Henstock–Kurzweil

Em matemática, a integral de Henstock–Kurzweil, também conhecida como integral de Denjoy e integral de Perron, é uma definição possível de integral de uma função. É uma generalização da integral de Riemann a qual em algumas situações é mais útil que a integral de Lebesgue.

Esta integral foi primeiramente definida por Arnaud Denjoy (1912). Denjoy estava interessado em uma definição que levaria a integrar funções como

$f(x)=\frac{1}{x}\sin\left(\frac{1}{x^3}\right).$

Enta função tem uma singularidade em 0, e não é integravel por integral de Lebesgue. Entretanto, parece natural calcular-se sua integral, exceto em [−ε,δ] e então fazendo-se ε, δ → 0.

Definição

A definição de Henstock é a seguinte:

Dada uma partição aditiva P de [a, b], diz-se

$a = u_0 < u_1 < \cdots < u_n = b, \ \ t_i \in [u_{i-1}, u_i]$

e uma função positiva

$\delta \colon [a, b] \to (0, \infty),\,$

a qual chamamos um calibre, diz-se que P é $\delta$-refinado se

$\forall i \ \ u_i - u_{i-1} < \delta (t_i).$

Para uma partição aditiva P e uma função

$f \colon [a, b] \to \mathbb{R}$

define-se a soma de Riemann como sendo

$\sum_P f = \sum_{i = 1}^n (u_i - u_{i-1}) f(t_i).$

Dada uma função

$f \colon [a, b] \to \mathbb{R},$

define-se um número I sendo a integral de Henstock–Kurzweil de f se para cada ε > 0 existe um calibre $\delta$ tal que sempre P seja $\delta$-refinado, tem-se

${\Big \vert} \sum_P f - I {\Big \vert} < \varepsilon.$

Se um tal I existe, diz que f é Henstock–Kurzweil integrável em [a, b].

O lema de Cousin estabelece que para cada calibre $\delta$, tal $\delta$-refinada partição P existe, então esta condição não pode ser satisfeita pela ausência. A integral de Riemann integral code ser considerada como um caso especial onde somente permite-se calibres constantes.

Referências

• Das, A.G. (2008). The Riemann, Lebesgue, and Generalized Riemann Integrals. Narosa Publishers. ISBN 978-8173199332.