Equação de Riccati

A Equação de Riccati, cujo nome é uma homenagem ao Conde Jacopo Francesco Riccati, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem, da forma:

$y' = a_{2}(x)y^2 + a_{1}(x)y + a_{0}(x)\,\!$.

(0.1)

em que $a_{0}(x) \,$, $a_{1}(x) \,$ e $a_{2}(x) \,$ são funções contínuas num intervalo $I \,$ e $a_{2}(x) \ne 0$ em $I \,$.

História

Na noite de ano novo de 1720, o Conde Jacopo Riccati, nobre que vivia na República de Veneza, escreveu uma carta a seu amigo Giovanni Rizzetti, onde propunha duas novas equações diferenciais:

$y' = \alpha y^2 + \beta x^m \,\!$

(0.2)

$y' = \alpha y^2 + \beta x + \gamma x^2 \,\!$

(0.3)

sendo $m, \alpha, \beta \,$ e $\gamma \,$ constantes e $x \,$ a variável independente. Foi provavelmente o primeiro documento contendo as formas iniciais da Equação de Riccati. Até então, o principal interesse de Riccati na área de equações diferenciais era nos métodos de solução por separação de variáveis. Possivelmente seu interesse por equações tenha se originado a partir da leitura do livro De constructione aequationum differentialium primi gradus, de Gabriele Manfredi, impresso em Bologna em 1707 (Manfredi ocupou a Cátedra de Matemática na Universidade de Bolonha por vários anos). Com relação a equação que leva o seu nome, inicialmente a atenção de Riccati estava voltada para o seguinte problema de natureza geométrica:

Suponha que um ponto de coordenadas $\alpha(x) , \beta(y) \,$ descreva uma trajetória no plano submetida às equações lineares simultâneas de primeira ordem

• $\alpha' = w_{11}.\alpha + w_{12}.\beta \,$

• $\beta' = w_{12}.\alpha + w_{22}.\beta \,$

A questão que Riccati se propôs foi a de determinar o coeficiente angular $m \,$ da reta tangente a cada ponto da trajetória do ponto

$m = \frac{\beta}{\alpha} \,$

Para solucionar o problema, Riccati teve de resolver preliminarmente a equação de coeficientes constantes $\dot{x} = ax^{2} + bx + c \,\!$, a qual é normalmente referida como Equação de Riccati de coeficientes constantes. Entretanto o próprio Riccati considerou equações com coeficientes tanto constantes quanto variáveis,com especial atenção devotada a (0.2) e (0.3), bem como a $\dot{x} = \alpha t^{p}x^{2} + \beta t^{m} \,\!$ e apresentou diversos métodos para obtenção de soluções para elas.

Ver também

• Equação diferencial
• Equação diferencial linear
• Equação diferencial de Bernoulli