Equação de Riccati

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A Equação de Riccati, cujo nome é uma homenagem ao Conde Jacopo Francesco Riccati, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem, da forma:


  {dy \over dx} = a(x) + b(x) y + c(x) y^2

onde a(x), b(x) e c(x) são três funções que dependem de x. [1]

Se conhecermos uma solução particular da equação, por exemplo y_1, a seguinte mudança de variável transformará a equação em equação linear


  y = y_1 + \frac{1}{v} \qquad \Longrightarrow \qquad
  {dy \over dx} = {dy_1 \over dx} - \frac{1}{v^2} {dv \over dx}

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Encontre a solução geral da seguinte equação sabendo que y_1(x) é solução particular


 y' = e^x y^2 - y + e^{-x} \qquad y_1(x) = -e^{-x} \cot x

Trata-se de uma equação de Riccati e para a resolver usamos a seguinte substituição


  y = y_1 + \frac{1}{v} \qquad\Longrightarrow\qquad
  y' = y_1' - \frac{v'}{v^2}

é conveniente não substituir y_1 pela função dada, já que o fato desta ser solução da equação simplificará os resultados. Substituindo na equação de Riccati obtemos[1]


\begin{align}
  y_1' - \frac{v'}{v^2} &=& e^x \left(y_1^2 + 2\frac{y_1}{v} + \frac{1}{v^2}
    \right) - y_1 - \frac{1}{v} + e^{-x}\\
    v^2 \left( y_1' - e^x y_1^2 + y_1 - e^{-x} \right) &=&
    v' + \left(2 y_1 e^x - 1 \right) v + e^x
\end{align}

como y_1 é solução, o termo nos parêntesis no lado esquerdo é zero e obtém-se a seguinte equação linear para v(x)


  v' - (2 \cot x + 1) v = - e^x

o fator integrante desta equação linear é


  \mu(x) = \exp \int(-1 - 2 \cot x) d x = \exp\left[-x - 2 \ln(\sin
             x)\right] = \frac{e^{-x}}{\sin^2 x}

multiplicando os dois lados da equação linear por \mu e seguindo os passos explicados na seção sobre equações lineares


\begin{align}
  && \mu v' - (2 cot x + 1)\mu v = - \csc^2 x\\
  && {d \over dx}(u v) = - \csc^2 x\\
  && u v = \cot x + c\\
  && v = e^x \sin^2 x (\cot x + c) = e^x \sin x (\cos x + c \sin x)\\
  
  && y = y_1 + \frac{1}{v} = \frac{e^{-x}}{\sin x} \left( -\cos x
    \frac{1}{\cos x + c \sin x} \right) \\
  && y = e^{-x} \frac{\sin x - c \cos x}{\cos x + c \sin x}
\end{align}

a solução geral está constituída por esta última família de funções, junto com a solução particular y_1

Referências

  1. a b [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.

Ver também[editar | editar código-fonte]


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