Equação de Poisson

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Em matemática, a equação de Poisson é uma equação de derivadas parciais com uma ampla utilidade em electrostática, engenharia mecânica e física teórica. O seu nome é derivado do matemático e físico francês Siméon-Denis Poisson.

Definição[editar | editar código-fonte]

Em um conjunto aberto U\subset \mathbb{R}^n, a equação de Poisson é definida por[1] :

\Delta \varphi = f

onde, f:U\to\mathbb{R} é uma função chamada de termo fonte e \Delta denota o operador de Laplace (ou, laplaciano):

\Delta \varphi := \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_i^2 }

Aqui, a incógnita \varphi é uma função de U\subset \mathbb{R}^n em \mathbb{R}. Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por \nabla^2. Esta notação é motivada pelo fato de que \Delta = \nabla \cdot \nabla, onde \nabla denota o gradiente. Quando f \equiv 0 a equação é chamada de equação de Laplace.

Caso em duas dimensões[editar | editar código-fonte]

Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano \mathbb{R}^2, a equação de Poisson toma a forma[2] (em coordenadas cartesianas):

\frac{\partial^2 \varphi }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi }{\partial y^2} = f(x,y).

Em coordenadas polares (r,~\theta), a equação torna-se:

\frac{\partial^2 g}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial g}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 g}{\partial \theta^2} = h(r,\theta),

Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis x = r\text{cos }\theta, y = r\text{sen }\theta, g(r,\theta) = \varphi (r\text{cos }\theta , r\text{sen }\theta) e h(r,\theta) = \phi(r\text{cos }\theta,~r\text{sen }\theta).

Caso em três dimensões[editar | editar código-fonte]

Em três dimensões, i.e. no espaço euclidiano \mathbb{R}^3, a equação de Poisson toma a forma (em coordenadas cartesianas):


{\partial^2 \varphi \over \partial x^2 } +
{\partial^2 \varphi \over \partial y^2 } +
{\partial^2 \varphi \over \partial z^2 } = f(x,y,z)
.

Em coordenadas cilíndricas (\rho,~\theta,~z), a equação torna-se:

  {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
  \left( \rho {\partial g \over \partial \rho} \right) 
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 g \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 g \over \partial z^2 } =h(\rho,\theta,z)

Pode-se obter esta fazendo as mudanças de variáveis x = r\text{cos }\theta, y = r\text{sen }\theta, z = z, g(r,\theta,z) = \varphi (r\text{cos }\theta , r\text{sen }\theta,z) e h(r,\theta,z) = \phi(r\text{cos }\theta,~r\text{sen }\theta,z).

Em coordenadas esféricas (r,\phi,\theta), a equação toma a forma:

  {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial g \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \phi} {\partial \over \partial \phi}
  \left( \sin \phi {\partial g \over \partial \phi} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \phi} {\partial^2 g \over \partial \theta^2} = h(r,\phi,\theta)
.

Soluções[editar | editar código-fonte]

Para resolver uma equação de Poisson podem-se utilizar vários métodos como, por exemplo, uma função de Green ou métodos numéricos como o método das diferenças finitas (MDF), o método dos elementos finitos (MEF) ou o Element Free-Gallerkin Method (EFGM).

Solução em Rn[editar | editar código-fonte]

Pode-se obter uma solução clássica para a equação de Poisson em \mathbb{R}^n:

-{\Delta} \varphi = g

supondo g\in C^2_c(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}), i.e. g é duas vezes continuamente diferenciável com suporte compacto. Neste caso, a solução é dada por:

\varphi(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \Phi(x-y) g(y) dy

onde,  \Phi:\mathbb{R}^n-{0} \to \mathbb{R} é a solução fundamental da equação de Laplace[1] .

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Mostraremos, primeiro, que \varphi\in C^2(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}). Note que:

\varphi(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \Phi(y)g(x-y)dy.

Como g\in C^2_c(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}), temos

\frac{\partial \varphi}{\partial x_i}(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\varphi(x + h\cdot e_i) - \varphi(x)}{h} = \int_{\mathbb{R}^n} \Phi(y)\left[\lim_{h\to 0} \frac{g(x+he_i - y) - g(x-y)}{h}\right] dy = \int_{\mathbb{R}^n} \Phi(y) \frac{\partial g}{\partial x_i}(x-y) dy

e, de forma análoga, temos

\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_i^2} = \int_{\mathbb{R}^n} \Phi(y)\frac{\partial g^2}{\partial x_i^2}(x-y) dy

o que mostra que \varphi\in C^2(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}). Nos cálculo acima, e_i denota o i-ésimo vetor da base canônica do \mathbb{R}^n.

Mostraremos, agora, - \Delta \varphi = g. Como \Phi tem uma singularidade em 0, tomamos \varepsilon > 0 e escrevemos[1] :

(1)\quad \Delta \varphi(x) = \int_{B(0,\varepsilon)} \Phi(y) \Delta_x g(x-y) dy + \int_{\mathbb{R}^n-B(x,\varepsilon)} \Phi(y)\Delta_x g(x-y) dy

Aqui, B(0,\varepsilon) denota a bola de centro 0 e raio \varepsilon. Estimando o primeiro termo, vemos que:

(2)\quad \left|\int_{B(0,\epsilon)} \Phi(y)\Delta_x g(x-y) dy\right| \leq \left\{\begin{array}{ll} C|| D^2 g||_{\infty} \varepsilon^2 |\ln \varepsilon| &, n = 2 \\
C|| D^2 g||_{\infty} &, n\geq 3\end{array}\right.

Aqui, || \cdot ||_\infty denota a norma L_\infty(\mathbb{R}^n). Já o segundo termo pode ser integrado por partes, o que nos fornece:

(3)\quad \int_{\mathbb{R}^n-B(x,\epsilon)} \Phi(y)\Delta_x g(x-y) dy = - \int_{\mathbb{R}^n - B(0,\varepsilon)} D\Phi(y) \cdot D_y g(x-y) dy + \int_{\partial B(0,\varepsilon)} \Phi(y)\frac{\partial g}{\partial \nu} (x-y) dS(y)

Aqui, \frac{\partial g}{\partial \nu} denota a derivada normal de g. Estimando este último termo, obtemos:

(4)\quad \left| \int_{\partial B(0,\varepsilon)} \Phi(y)\frac{\partial g}{\partial \nu} (x-y) dS(y) \right| \leq \left\{\begin{array}{ll}C ||Dg||_{\infty} \varepsilon |\ln \varepsilon| &, n=2 \\ C ||Dg||_{\infty} \varepsilon &, n \geq 3\end{array}\right.

Se integrarmos por partes o penúltimo termo de (3) novamente, vemos que:

(5)\quad - \int_{\mathbb{R}^n - B(0,\varepsilon)} D\Phi(y) \cdot D_y g(x-y) dy = \int_{\mathbb{R}^n - B(0,\varepsilon)} \Delta \Phi(y) g(x-y) dy  - \int_{\partial B(0,\epsilon)} \frac{\partial \Phi}{\partial \nu} (y) g(x-y) dS(y)

Aqui, o penúltimo termo é nulo, pois \Delta \Phi \equiv 0 em \mathbb{R}^n - B(0,\varepsilon). E, este último termo é tal que:

(6)\quad \int_{\partial B(0,\epsilon)} \frac{\partial \Phi}{\partial \nu} (y) g(x-y) dS(y) = \frac{1}{n\alpha(n) \varepsilon^{n-1}} \int_{\partial B(x,\varepsilon)} g(y) dS(y) \to g(x)\quad\text{quando}\quad \varepsilon\to 0

pois, notemos que o termo a direita deste símbolo de igualdade é a média de g sobre a fronteira da bola B(x,\varepsilon). Voltando a (1) e usando as conclusões de (2)-(6), concluímos que - \Delta \varphi = g.

Condições de contorno[editar | editar código-fonte]

A equação de Poisson em domínios limitados deve ser complementada com condições de contorno.

Condição de contorno de Dirichlet[editar | editar código-fonte]

Diz que a equação de Poisson tem condições de contorno de Dirichlet quando a função incógnita \varphi é explicitamente descrita no contorno do domínio, i.e.:

\begin{array}{rclcl}
\triangle \varphi &=& f,\quad & x\in D\\
\varphi&=&g,& x\in \partial D
\end{array}.

Unicidade[editar | editar código-fonte]

Como consequência do princípio do máximo forte para funções harmônicas, mostra-se que se D é conexo, \varphi\in C^2(D)\cap C(\bar{D}) e g\in C(\partial D), então existe no máximo uma solução para o problema de Dirichlet sobre tais hipóteses[1] .

A unicidade de solução também é garantida mesmo que D não seja conexo. Com efeito, assumindo D aberto, limitado, \partial D \in C^1 e \varphi,~\tilde{\varphi} \in C^2(U) duas soluções do mesmo problema acima, então tomando u = \varphi - \tilde{\varphi} temos:


\begin{array}{rclcl}
\triangle u &=& 0,\quad & x\in D\\
u &=& 0,& x\in \partial D
\end{array}.

Agora, usando de integração por partes, obtemos:


\int_D \|D\,u\|^2\,dx = - \int_D u\Delta u\,dx = 0

o que implica que D\,u = 0 que, por sua vez, implica u constante. Como u = 0 em \partial D, temos u = 0 em \bar{D}, i.e. \varphi = \tilde{\varphi}, como queríamos demonstrar.

Condição de contorno de Neumann[editar | editar código-fonte]

Diz que a equação de Poisson tem condições de contorno de Neumann quando a derivada normal da função incógnita \varphi é explicitamente descrita no contorno do domínio, i.e.:

\begin{array}{rclcl}
\triangle \varphi &=& f,\quad & x\in D\\
\frac{\partial}{\partial\eta}\varphi&=&g,& x\in \partial D
\end{array}.

Referências

  1. a b c d Evans, Lawrence C.. Partial Differential Equations. 2 ed. [S.l.]: American Mathematical Society, 2010. ISBN 978-0821849743
  2. Figueiredo, Djairo. Análise de Fourier e equações diferenciais parciais. 2 ed. [S.l.]: IMPA, 1987. ISBN 8524400269