Função harmônica

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Função harmônica, estritamente em Matemática, é qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas. Aplica-se em vários sub-domínios da própria matemática, além de encontrar imensa e rica utilidade na física matemática, na física, em análise de processos estocásticos, entre várias aplicações.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Função harmônica, em Matemática, em Física, em Física matemática e em Processos estocásticos, é uma função contínua e duplamente diferenciável f : UR (onde U é um subconjunto aberto de Rn) que satisfaz a equação de Laplace, e pode ser assim expressa:


\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} +
\frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} +
\cdots +
\frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0

em todo lugar em U. Isso é também frequentemente escrito como

\nabla^2 f = 0 ou \Delta f = 0.
onde: \nabla^2 é o operador laplaciano e \Delta é o operator Laplace-de Rham

Alternativamente, função harmônica pode ser definida de outros modos:

  • Função harmônica, em Matemática, também pode ser entendida como qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas.
  • Há também uma outra definição aparentemente mais frágil, contudo equivalente. Realmente, uma função é dita harmônica se e somente se é fracamente harmônica — e a aparente fragilidade conceitual decorre apenas da recorrência.

Funções harmônicas podem ser definidas num espaço riemanniano múltiplo, por meio do uso do operator Laplace-de Rham, \Delta.

Nesse contexto, uma função é dita harmônica se \Delta f = 0.

Uma C^2 função que satisfaz \Delta f \ge 0 é dita subarmônica.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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