Função harmônica

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Função harmônica, estritamente em Matemática, é qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas. Aplica-se em vários sub-domínios da própria matemática, além de encontrar imensa e rica utilidade na física matemática, na física, em análise de processos estocásticos, entre várias aplicações.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Função harmônica, em Matemática, em Física, em Física matemática e em Processos estocásticos, é uma função contínua e duplamente diferenciável f : UR (onde U é um subconjunto aberto de Rn) que satisfaz a equação de Laplace, e pode ser assim expressa:


\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} +
\frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} +
\cdots +
\frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0

em todo lugar em U. Isso é também frequentemente escrito como

\nabla^2 f = 0 ou \Delta f = 0.
onde: \nabla^2 é o operador laplaciano e \Delta é o operator Laplace-de Rham

Alternativamente, função harmônica pode ser definida de outros modos:

  • Função harmônica, em Matemática, também pode ser entendida como qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas.
  • Há também uma outra definição aparentemente mais frágil, contudo equivalente. Realmente, uma função é dita harmônica se e somente se é fracamente harmônica — e a aparente fragilidade conceitual decorre apenas da recorrência.

Funções harmônicas podem ser definidas num espaço riemanniano múltiplo, por meio do uso do operator Laplace-de Rham, \Delta.

Nesse contexto, uma função é dita harmônica se \Delta f = 0.

Uma C^2 função que satisfaz \Delta f \ge 0 é dita subarmônica.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Fórmula do Valor Médio[editar | editar código-fonte]

Seja f\in C^2(U;\mathbb{R}) uma função harmônica, U\subset\mathbb{R}^n aberto. Então, para cada x\in U, temos:

f(x) = \frac{1}{n\alpha(n)r^{n-1}}\int_{\partial B(x,r)} f dS,\quad\forall B(x,r)\subset U

onde, \alpha(n) é o volume da bola unitária em \mathbb{R}^n, B(x,r) é a bola de centro em x e raio r e \partial B(x,r) denota sua fronteira (a esfera de centro x e raio r). Isto é, se f é harmônica, então f(x) é igual a sua média sobre qualquer esfera de centro x e raio r contida no seu domínio (veja, por exemplo, Evans (2010)[1] ).

Como consequência do resultado acima, podemos demonstrar que:

f(x) = \frac{1}{\alpha(n)r^n}\int_{B(x,r)} f dy,\quad B(x,r)\subset U

isto é: se f é harmônica, então f(x) é igual a média de f sobre qualquer bola de centro x e raio r contida em seu domínio.

Esse resultado também tem uma recíproca. Se f \in C^2(U,\mathbb{R}) é tal que

f(x) = \frac{1}{n\alpha(n)r^{n-1}}\int_{\partial B(x,r)} f dS,\quad \forall B(x,r)\subset U

então, f é harmônica. Em outras palavras, uma função f duas vezes continuamente diferenciável cuja média sobre cada esfera contida em seu domínio é igual a função aplicada no centro da mesma é uma função harmônica.

Princípio do Máximo[editar | editar código-fonte]

Uma função harmônica atinge seu máximo (mínimo) na fronteira. Mais precisamente, se f:U \to \mathbb{R} é uma função harmônica com f \in C^2(U)\cap C(\bar{U}), então \max_{\bar{U}} f = \max_{\partial U} f , bem como \min_{\bar{U}} f = \min_{\partial U} f. Aqui, U é um conjunto aberto, \bar{U} é o fecho de U.

Esta propriedade é consequência do princípio do máximo forte[1] , o qual estabelece que se, além das hipóteses acima, U for conexo e existir x_0\in U tal que f(x_0) = \max_{\bar{U}} f \left(\text{ou } f(x_0) = \min_{\bar{U}} f \right), então f é constante em U. Esta propriedade é, por sua vez, consequência direta da fórmula do valor médio (veja acima).

Ver também[editar | editar código-fonte]

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  1. a b Evans, Lawrence. Partial Differential Equations. 2. ed. [S.l.]: American Mathematical Society, 2010. ISBN 978-0821849743.