Função harmônica

• Para função harmônica em música, veja funcionalidade diatônica

Função harmônica, estritamente em Matemática, é qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas. Aplica-se em vários sub-domínios da própria matemática, além de encontrar imensa e rica utilidade na física matemática, na física, em análise de processos estocásticos, entre várias aplicações.

Definição formal

Função harmônica, em Matemática, em Física, em Física matemática e em Processos estocásticos, é uma função contínua e duplamente diferenciável f : U → R (onde U é um subconjunto aberto de Rⁿ) que satisfaz a equação de Laplace, e pode ser assim expressa:

$\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0$

em todo lugar em U. Isso é também frequentemente escrito como

$\nabla^2 f = 0$ ou $\ \Delta f = 0.$

onde: $\nabla^2$ é o operador laplaciano e $\ \Delta$ é o operator Laplace-de Rham

Alternativamente, função harmônica pode ser definida de outros modos:

• Função harmônica, em Matemática, também pode ser entendida como qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas.
• Há também uma outra definição aparentemente mais frágil, contudo equivalente. Realmente, uma função é dita harmônica se e somente se é fracamente harmônica — e a aparente fragilidade conceitual decorre apenas da recorrência.

Funções harmônicas podem ser definidas num espaço riemanniano múltiplo, por meio do uso do operator Laplace-de Rham, $\ \Delta.$

Nesse contexto, uma função é dita harmônica se $\ \Delta f = 0.$

Uma $C^2$ função que satisfaz $\Delta f \ge 0$ é dita subarmônica.

Ligações externas

• Harmonic function at http://en.wikipedia.org;

Ver também

• Equação de Laplace;
• Função anarmônica;
• Função subarmônica;
• Operadores diferenciais.