Equação de Lane-Emden

A equação de Lane-Emden é um modelo para descrever a densidade e a pressão no interior das anãs brancas.

Em astrofísica, a equação de Lane-Emden é uma equação diferencial ordinária que modeliza a estrutura interna de um sistema termodinâmico descrito pela equação de estado de um fluido politrópico auto-gravitante, ou seja, sujeito somente a influência de sua própria massa. A equação é obtida a partir da hipótese adicional de simetria esférica, que exclui as situações em que os sistemas possuem movimento de rotação.

Essa equação determina o perfil de pressão, densidade e temperatura em alguns casos de interesse físico, como o gás ideal e o gás degenerado de férmions à temperatura nula nas situações não-relativística e ultra-relativística. Esses modelos permitem uma descrição simples de anãs brancas e outros astros compactos, nos quais a pressão de degenerescência tem um papel importante.

A equação de Lane-Emden recebe o seu nome em homenagem aos astrofísicos Jonathan Lane e Robert Emden, sendo Lane quem primeiro propôs esta equação em 1870. Lord Kelvin e A. Ritter fizeram contribuições importantes ao estudo dessa equação no século XIX, assim como Ralph H. Fowler e Subrahmanyan Chandrasekhar nos anos 1930.

Apresentação

Em 1869, Lane publicou pela primeira vez esta equação com o objetivo de estimar a temperatura da surfície solar. De fato, a zona de convecção de um estrela pode ser considerada em equilíbrio convectivo e modelada pela equação de Lane-Emden.

A equação diferencial de Lane-Emben é dada por:

• $\frac{1}{\zeta^2} \frac{d}{d\zeta} \left({\zeta^2 \frac{d\theta}{d\zeta}}\right) + \theta^n = 0$

onde $\zeta\,$ é o raio reescalonado:

$\zeta = r \left(\frac{4 \pi G \rho_c^2}{(n+1)P_c}\right)^{\frac{1}{2}}$

e a densidade $\rho\,$ é dada como.

$\rho = \rho_c \theta^n \,$

os subescritos "c" referem-se aos valores de referência da adimensionalização e são normalmente escolhidos os valores encontrados no centro do politropo. A condição de simetria esférica implica necessariamente que a derivada é nula em $r=0\,$:

• $\frac{d \theta}{d r}=0\,$

O valor de $\theta\,$ em $r=0\,$, pode ser obtido a partir do valor da densidade:

$\theta(0)=\left(\rho(0)/\rho_c\right)^{1/n}\,$ é dado

No caso mais comum em que escolhe-se $\rho_c=\rho(0)\,$, temos:

• $\theta(0)=1\,$

Contexto físico

No equilíbrio, o efeito do gradiente de pressão e do campo gravitacional se anulam.

Em um fluido politrópico, a pressão P está relacionada com a densidade $\rho\,$ por uma equação de estado da forma:

$P = C \rho^\gamma \quad (1)\,$,

onde C é uma constante e $\gamma\,$ é um número não inferior a 1 chamado de constante adiabática. A constante adiábatica se relaciona com índice do politropo pela relação:

$\gamma = 1 + \frac{1}{n}:$.

O fluido está sumetido à força gerada pelo seu próprio campo gravitacional. Esta força é radial e aponta para o centro da estrutura. A magnitude da força gravitacional é denotada pela letra g é considerada uma função da distância ao centro r:

$g=g(r)\,$

do teorema das cascas esféricas a força gravitacional dentro de uma estrutura com simetria esférica é dado pela expressão:

$g(r)= \frac{G}{r^2} M(r)\quad (2)\,$

onde $M(r)\,$ é massa total contida até a distância r do centro:

$M(r)= 4\pi\int_{o}^r s^2 \rho(s) ds \quad (3)\,$

aqui $\rho(s)\,$ é densidade do fluido à distância s do centro.

Como o fluido está em equilíbrio hidrostático, vale a equação de Poisson:

$\nabla P= \rho g\quad (4)\,$

Derivação da equação de Lane-Emden

Da simetria esférica e da relação (1), a equação (4) reduz a:

$C\gamma\rho^{\gamma-1}\frac{d\rho}{d r}= \rho g\quad (5)\,$

Usando o valor de M(R) dado por (3) em (2) e substituindo esta expressão para a densidade em (5)

$C\gamma\rho^{\gamma-1}\frac{d\rho}{d r}= 4\pi\rho\frac{G}{r^2}\int_{o}^r s^2 \rho(s) ds \,$

ou, equivalentemente:

$C\gamma r^2\rho^{\gamma-2}\frac{d\rho}{d r}= 4\pi G\int_{o}^r s^2 \rho(s) ds \quad (6)\,$

Esta é uma equação íntegro-diferencial para a densidade $\rho\,$ em função de $r\,$. Diferenciando ambos os lados da equação por $r\,$, obtemos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem:

$\frac{d}{dr}\left[C\gamma r^2\rho^{\gamma-2}\frac{d\rho}{d r}\right]= 4\pi G r^2 \rho \,$

A idéia agora é introduzir a seguinte mudança de variáveis:

$\rho=\rho_c\theta^n \quad \gamma=1+1/n\,$

$\frac{d}{dr}\left[C(n+1)\rho_c^{\gamma-1} r^2\frac{d\theta}{d r}\right]= 4\pi G r^2 \rho_c \theta^n \,$

ou, equivalentemente:

$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left[ r^2\frac{d\theta}{d r}\right]= \frac{4\pi G\rho_c^{2-\gamma}}{C(n+1)} \theta^n \,$

A equação de estado (1) sugere definir $P_c:=C\rho_c^\gamma\,$, de forma que:

$\frac{P}{P_c}= \left(\frac{\rho}{\rho_c}\right)^\gamma\,$

e assim, obtemos:

$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left[ r^2\frac{d\theta}{d r}\right]= \frac{4\pi G\rho_c^2}{(n+1)P_c} \theta^n \,$

E conclui-se o desenvolvimento, introduzindo uma nova mudança de variáveis, rescalonando o raio:

$\zeta = r \left(\frac{4 \pi G \rho_c^2}{(n+1)P_c}\right)^{\frac{1}{2}}$

Soluções da equação

Soluções da Equação de Lane-Emden para n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

A equação pode ser resolvida analiticamente quando n = 0, 1 or 5:

n =	0	1	5
$\theta$ =	$1 - \frac {\zeta^2}{6}$	$\frac{\sin\zeta}{\zeta}$	$\left(1+ \frac{\zeta^2}{3}\right)^{-\frac{1}{2}}$
ζ0 =	$\sqrt 6$	$\pi$	∞

Aqui, ζ₀ indica o primeiro zero da solução.

Caso n = 0

O caso $n=0\,$ descreve um politropo em que a densidade é uniforme (isocórico). O problema neste caso é linear e é dado por:

$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{\zeta^2} \frac{d}{d\zeta} \left({\zeta^2 \frac{d\theta}{d\zeta}}\right) + 1 = 0,~~ &\zeta>0\\ \theta=1, ~~~~ \frac{d\theta}{d\zeta}=0, ~~&\zeta=0 \end{array} \right.$

É fácil ver que a solução geral da equação é dada por:

$\theta= -\frac{\zeta^2}{6}+\frac{C_1}{\zeta}+C_2\,$

a condição de a solução estar definida na origem implica $C_1=0\,$ e a condição $\theta(0)\,$ implica $C_2=1\,$. A solução é, portanto, dado por:

$\theta= 1-\frac{\zeta^2}{6}\,$, cuja derivada vale:

$\frac{d\theta}{d\zeta}= -\frac{\zeta}{3}\,$, que, de fato, se anula na origem.

Caso n = 1

No caso $n=1\,$, o problema é novamente linear e recai numa equação de Bessel esférica de índice 0:

$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{\zeta^2} \frac{d}{d\zeta} \left({\zeta^2 \frac{d\theta}{d\zeta}}\right) + \theta = 0,~~ &\zeta>0\\ \theta=1, ~~~~ \frac{d\theta}{d\zeta}=0, ~~&\zeta=0 \end{array} \right.$

A solução geral desta equação é dada por:

$\theta= C_1\frac{\cos \zeta}{\zeta}+C_2\frac{\sin \zeta}{\zeta}\,$

Da mesma forma, como foi feito para o caso $n=0\,$, $C_1=0\,$ e $C_2=0\,$, observando que:

$\lim_{\zeta\to 0}\frac{\sin\zeta}{\zeta}=1\,$ e, portanto, a solução é dada por:

$\theta= \frac{\sin \zeta}{\zeta}\,$ cuja derivada vale:

$\frac{d\theta}{d\zeta}= \frac{\zeta\cos\zeta-\sin \zeta}{\zeta^2}\,$ cujo limite quando $\zeta\to 0\,$ é nulo.

Soluções singulares

Quando se desconsideram as condições iniciais, a equação de Lane-Emden possui soluções singulares na origem para todo $n>3\,$, ou seja, $\gamma<4/3\,$ da seguinte forma:

$\theta = \frac{X}{\zeta^p}$,

onde

$X = \left(\frac{2 (n - 3)}{(n - 1)^2}\right)^\frac{1}{n - 1}$

$p = \frac{2}{n - 1}$.

Transformações da Equação de Lane-Emden

• Substituindo $\theta=\frac{\chi}{\zeta}\,$, a equação reduz à

$\frac{d^2\chi}{d\zeta^2}=-\frac{\chi^n}{\zeta^{n-1}}\,$

• Substituindo $x=\frac{1}{\zeta}\,$ (transformação de Kelvin), a equação se transforma em:

$x^4\frac{d^2\theta}{d x^2}=-\theta^n\,$

• As transformações de Emden consitem em fazer a seguinte mudança de variáveis:

$\theta=Ax^pz,\quad p=\frac{2}{n-1}\,$

que satisfaz a seguinte relação:

$\frac{d^2\theta}{dx^2}=A\left[x^p\frac{d^2z}{dx^2}+2px^{p-1}\frac{dz}{dx}+p(p-1)x^{p-2}z\right]\,$

Esta mudança aplicada à equação na forma dada pela transformação de Kelvin, conduz a:

$x^2\frac{d^2z}{dx^2}+2px\frac{dz}{dx}+p(p-1)z+A^{n-1}z^n=0\,$

Este equação pode ser simplificada ainda mais pela introdução de mais uma nova variável:

$x=\frac{1}{\zeta}=e^t\quad t=\log x=-\log\zeta\,$

que reduz a última equação a:

$\frac{d^2z}{dt^2}+(2p-1)\frac{dz}{dt}+p(p-1)z+A^{n-1}z^n=0\,$

Expansão em séries de Taylor

Pode-se encontrar uma expressão para a solução da Equação de Lane-Emden em torno de $r=0\,$ através do método de Frobenius, que consiste em expandir a solução em série de Taylor:

$\theta(\zeta)=\sum_i^\infty a_i\zeta^i\,$

As condições iniciais implicam diretamente:

$a_0=1\quad a_1=0\,$

os outros coeficientes devem ser obtidos subsituindo a série de $\theta\,$ na equação. Este procedimento resulta em:

$\theta(\zeta)=1-\frac{1}{6}\zeta^2+\frac{n}{120}\zeta^4+\left(\frac{n}{3024}-\frac{n^2}{1890}\right)\zeta^6+\left(\frac{n}{46656}-\frac{61n^2}{1088640}+\frac{61n^3}{1632960}\right)\zeta^8+O(\zeta^{10})\,$

Referências

• Artigo no Mathworld sobre a Equação de Lane-Emden (em inglês)
• (em inglês) Horedt, George Paul ( 1986 ) 5.9MB PDF, Astrophysics and Space Science vol. 126, no. 2, Oct. 1986, p. 357-408. ( ISSN 0004-640X ). Collected at the Smithsonian/NASA Astrophysical Data System.
• (em inglês) Subrahmanyan Chandrasekhar, An Introduction to the Study of Stellar Structure, 1939, Dover Publications, Inc