Equação de Lane-Emden

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A equação de Lane-Emden é um modelo para descrever a densidade e a pressão no interior das anãs brancas.

Em astrofísica, a equação de Lane-Emden é uma equação diferencial ordinária que modeliza a estrutura interna de um sistema termodinâmico descrito pela equação de estado de um fluido politrópico auto-gravitante, ou seja, sujeito somente a influência de sua própria massa. A equação é obtida a partir da hipótese adicional de simetria esférica, que exclui as situações em que os sistemas possuem movimento de rotação.

Essa equação determina o perfil de pressão, densidade e temperatura em alguns casos de interesse físico, como o gás ideal e o gás degenerado de férmions à temperatura nula nas situações não-relativística e ultra-relativística. Esses modelos permitem uma descrição simples de anãs brancas e outros astros compactos, nos quais a pressão de degenerescência tem um papel importante.

A equação de Lane-Emden recebe o seu nome em homenagem aos astrofísicos Jonathan Lane e Robert Emden, sendo Lane quem primeiro propôs esta equação em 1870. Lord Kelvin e A. Ritter fizeram contribuições importantes ao estudo dessa equação no século XIX, assim como Ralph H. Fowler e Subrahmanyan Chandrasekhar nos anos 1930.

Apresentação[editar | editar código-fonte]

Em 1869, Lane publicou pela primeira vez esta equação com o objetivo de estimar a temperatura da surfície solar. De fato, a zona de convecção de um estrela pode ser considerada em equilíbrio convectivo e modelada pela equação de Lane-Emden.

A equação diferencial de Lane-Emben é dada por:

  •  \frac{1}{\zeta^2} \frac{d}{d\zeta} \left({\zeta^2 \frac{d\theta}{d\zeta}}\right) + \theta^n = 0

onde \zeta\, é o raio reescalonado:

 \zeta = r \left(\frac{4 \pi G \rho_c^2}{(n+1)P_c}\right)^{\frac{1}{2}}

e a densidade \rho\, é dada como.

 \rho = \rho_c \theta^n \,

os subescritos "c" referem-se aos valores de referência da adimensionalização e são normalmente escolhidos os valores encontrados no centro do politropo. A condição de simetria esférica implica necessariamente que a derivada é nula em r=0\,:

  • \frac{d \theta}{d r}=0\,

O valor de \theta\, em r=0\,, pode ser obtido a partir do valor da densidade:

\theta(0)=\left(\rho(0)/\rho_c\right)^{1/n}\, é dado

No caso mais comum em que escolhe-se \rho_c=\rho(0)\,, temos:

  • \theta(0)=1\,

Contexto físico[editar | editar código-fonte]

No equilíbrio, o efeito do gradiente de pressão e do campo gravitacional se anulam.

Em um fluido politrópico, a pressão P está relacionada com a densidade \rho\, por uma equação de estado da forma:

 P = C \rho^\gamma \quad (1)\,,

onde C é uma constante e \gamma\, é um número não inferior a 1 chamado de constante adiabática. A constante adiábatica se relaciona com índice do politropo pela relação:

\gamma = 1 + \frac{1}{n}:.

O fluido está sumetido à força gerada pelo seu próprio campo gravitacional. Esta força é radial e aponta para o centro da estrutura. A magnitude da força gravitacional é denotada pela letra g é considerada uma função da distância ao centro r:

g=g(r)\,

do teorema das cascas esféricas a força gravitacional dentro de uma estrutura com simetria esférica é dado pela expressão:

g(r)= \frac{G}{r^2} M(r)\quad (2)\,

onde M(r)\, é massa total contida até a distância r do centro:

M(r)= 4\pi\int_{o}^r  s^2 \rho(s) ds \quad (3)\,

aqui \rho(s)\, é densidade do fluido à distância s do centro.

Como o fluido está em equilíbrio hidrostático, vale a equação de Poisson:

\nabla P= \rho g\quad (4)\,

Derivação da equação de Lane-Emden[editar | editar código-fonte]

Da simetria esférica e da relação (1), a equação (4) reduz a:

C\gamma\rho^{\gamma-1}\frac{d\rho}{d r}= \rho g\quad (5)\,

Usando o valor de M(R) dado por (3) em (2) e substituindo esta expressão para a densidade em (5)

C\gamma\rho^{\gamma-1}\frac{d\rho}{d r}= 4\pi\rho\frac{G}{r^2}\int_{o}^r  s^2 \rho(s) ds \,

ou, equivalentemente:

C\gamma r^2\rho^{\gamma-2}\frac{d\rho}{d r}= 4\pi G\int_{o}^r  s^2 \rho(s) ds \quad (6)\,

Esta é uma equação íntegro-diferencial para a densidade \rho\, em função de r\,. Diferenciando ambos os lados da equação por r\,, obtemos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem:

\frac{d}{dr}\left[C\gamma r^2\rho^{\gamma-2}\frac{d\rho}{d r}\right]= 4\pi G  r^2 \rho \,

A idéia agora é introduzir a seguinte mudança de variáveis:

 \rho=\rho_c\theta^n \quad \gamma=1+1/n\,
\frac{d}{dr}\left[C(n+1)\rho_c^{\gamma-1} r^2\frac{d\theta}{d r}\right]= 4\pi G  r^2 \rho_c \theta^n \,

ou, equivalentemente:

\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left[ r^2\frac{d\theta}{d r}\right]= \frac{4\pi G\rho_c^{2-\gamma}}{C(n+1)} \theta^n \,

A equação de estado (1) sugere definir P_c:=C\rho_c^\gamma\,, de forma que:

\frac{P}{P_c}= \left(\frac{\rho}{\rho_c}\right)^\gamma\,

e assim, obtemos:

\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left[ r^2\frac{d\theta}{d r}\right]= \frac{4\pi G\rho_c^2}{(n+1)P_c} \theta^n \,

E conclui-se o desenvolvimento, introduzindo uma nova mudança de variáveis, rescalonando o raio:

 \zeta = r \left(\frac{4 \pi G \rho_c^2}{(n+1)P_c}\right)^{\frac{1}{2}}

Soluções da equação[editar | editar código-fonte]

Soluções da Equação de Lane-Emden para n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

A equação pode ser resolvida analiticamente quando n = 0, 1 or 5:

n = 0 1 5
 \theta =  1 - \frac {\zeta^2}{6}  \frac{\sin\zeta}{\zeta}  \left(1+ \frac{\zeta^2}{3}\right)^{-\frac{1}{2}}
ζ0 =  \sqrt 6  \pi

Aqui, ζ0 indica o primeiro zero da solução.

Caso n = 0[editar | editar código-fonte]

O caso n=0\, descreve um politropo em que a densidade é uniforme (isocórico). O problema neste caso é linear e é dado por:

\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{\zeta^2} \frac{d}{d\zeta} \left({\zeta^2 \frac{d\theta}{d\zeta}}\right) + 1 = 0,~~ &\zeta>0\\
\theta=1, ~~~~ \frac{d\theta}{d\zeta}=0, ~~&\zeta=0
\end{array}
\right.

É fácil ver que a solução geral da equação é dada por:

\theta= -\frac{\zeta^2}{6}+\frac{C_1}{\zeta}+C_2\,

a condição de a solução estar definida na origem implica C_1=0\, e a condição \theta(0)\, implica C_2=1\,. A solução é, portanto, dado por:

\theta= 1-\frac{\zeta^2}{6}\,, cuja derivada vale:
\frac{d\theta}{d\zeta}= -\frac{\zeta}{3}\,, que, de fato, se anula na origem.

Caso n = 1[editar | editar código-fonte]

No caso n=1\,, o problema é novamente linear e recai numa equação de Bessel esférica de índice 0:

\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{\zeta^2} \frac{d}{d\zeta} \left({\zeta^2 \frac{d\theta}{d\zeta}}\right) + \theta = 0,~~ &\zeta>0\\
\theta=1, ~~~~ \frac{d\theta}{d\zeta}=0, ~~&\zeta=0
\end{array}
\right.

A solução geral desta equação é dada por:

\theta= C_1\frac{\cos \zeta}{\zeta}+C_2\frac{\sin \zeta}{\zeta}\,

Da mesma forma, como foi feito para o caso n=0\,, C_1=0\, e C_2=0\,, observando que:

\lim_{\zeta\to 0}\frac{\sin\zeta}{\zeta}=1\, e, portanto, a solução é dada por:
\theta= \frac{\sin \zeta}{\zeta}\, cuja derivada vale:
\frac{d\theta}{d\zeta}= \frac{\zeta\cos\zeta-\sin \zeta}{\zeta^2}\, cujo limite quando \zeta\to 0\, é nulo.

Soluções singulares[editar | editar código-fonte]

Quando se desconsideram as condições iniciais, a equação de Lane-Emden possui soluções singulares na origem para todo n>3\,, ou seja, \gamma<4/3\, da seguinte forma:

\theta = \frac{X}{\zeta^p},

onde

X = \left(\frac{2 (n - 3)}{(n - 1)^2}\right)^\frac{1}{n - 1}
p = \frac{2}{n - 1}.

Transformações da Equação de Lane-Emden[editar | editar código-fonte]

  • Substituindo \theta=\frac{\chi}{\zeta}\,, a equação reduz à
\frac{d^2\chi}{d\zeta^2}=-\frac{\chi^n}{\zeta^{n-1}}\,
  • Substituindo x=\frac{1}{\zeta}\, (transformação de Kelvin), a equação se transforma em:
x^4\frac{d^2\theta}{d x^2}=-\theta^n\,
  • As transformações de Emden consitem em fazer a seguinte mudança de variáveis:
\theta=Ax^pz,\quad p=\frac{2}{n-1}\,

que satisfaz a seguinte relação:

\frac{d^2\theta}{dx^2}=A\left[x^p\frac{d^2z}{dx^2}+2px^{p-1}\frac{dz}{dx}+p(p-1)x^{p-2}z\right]\,

Esta mudança aplicada à equação na forma dada pela transformação de Kelvin, conduz a:

x^2\frac{d^2z}{dx^2}+2px\frac{dz}{dx}+p(p-1)z+A^{n-1}z^n=0\,

Este equação pode ser simplificada ainda mais pela introdução de mais uma nova variável:

x=\frac{1}{\zeta}=e^t\quad t=\log x=-\log\zeta\,

que reduz a última equação a:

\frac{d^2z}{dt^2}+(2p-1)\frac{dz}{dt}+p(p-1)z+A^{n-1}z^n=0\,

Expansão em séries de Taylor[editar | editar código-fonte]

Pode-se encontrar uma expressão para a solução da Equação de Lane-Emden em torno de r=0\, através do método de Frobenius, que consiste em expandir a solução em série de Taylor:

\theta(\zeta)=\sum_i^\infty a_i\zeta^i\,

As condições iniciais implicam diretamente:

a_0=1\quad a_1=0\,

os outros coeficientes devem ser obtidos subsituindo a série de \theta\, na equação. Este procedimento resulta em:

\theta(\zeta)=1-\frac{1}{6}\zeta^2+\frac{n}{120}\zeta^4+\left(\frac{n}{3024}-\frac{n^2}{1890}\right)\zeta^6+\left(\frac{n}{46656}-\frac{61n^2}{1088640}+\frac{61n^3}{1632960}\right)\zeta^8+O(\zeta^{10})\,

Referências[editar | editar código-fonte]