Identidade trigonométrica

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Uma identidade trigonométrica é uma equação envolvendo funções trigonométricas e que é verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Estas identidades são úteis sempre que expressões envolvendo funções trigonométricas devam ser simplificadas. Uma importante aplicação é a integração de funções não-trigonométricas: um truque comum envolve primeiro usar a integração por substituição com uma função trigonométrica e então simplificar a integral resultante com uma identidade trigonométrica.

Notação[editar | editar código-fonte]

Ângulos[editar | editar código-fonte]

Esse artigo utiliza letras gregas tais como alfa (α), beta (β), theta (θ) e Phi (φ) para representar ângulos. Várias unidades de ângulo são largamente utilizadas, incluindo graus, radianos e grados:

1 volta completa  = 360 graus = 2\pi radianos  =  400 grados.

A tabela a seguir mostra as conversões para alguns ângulos comuns:

Graus 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330°
Radianos \frac\pi6\! \frac\pi3\! \frac{2\pi}3\! \frac{5\pi}6\! \frac{7\pi}6\! \frac{4\pi}3\! \frac{5\pi}3\! \frac{11\pi}6\!
Grados 33⅓ grados 66⅔ grados 133⅓ grados 166⅔ grados 233⅓ grados 266⅔ grados 333⅓ grados 366⅔ grados
Graus 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
Radianos \frac\pi4\! \frac\pi2\! \frac{3\pi}4\! \pi\! \frac{5\pi}4\! \frac{3\pi}2\! \frac{7\pi}4\! 2\pi\!
Grados 50 grados 100 grados 150 grados 200 grados 250 grados 300 grados 350 grados 400 grados

Funções trigonométricas[editar | editar código-fonte]

As funções trigonométricas básicas são o seno e o cosseno de um ângulo. Essas são abreviadas por sen(θ) e cos(θ), respectivamente, onde θ é o ângulo. Todavia as parênteses podem ser omitidas, como por exemplo sen θ e cos θ.

A função tangente (tg ou tan) de um ângulo é a razão do seno e o cosseno de um mesmo ângulo:

\tan\theta = \frac{\sen\theta}{\cos\theta}.

Finalmente, as funções trigonométricas de razão recíproca secante (sec), cossecante (csc) e cotangente (ctg), das funções cosseno, seno e tangente:

\tan\theta = \frac {\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}\,\!
\cot\theta = \frac {1}{\tan\theta}\,\!
\sec\theta = \frac {1}{\cos\theta}\,\!
\csc\theta = \frac {1}{\operatorname{sen}\theta}\,\!
Tabela de Trigonometria da Cyclopaedia (1728)

Funções inversas[editar | editar código-fonte]

As funções inversas trigonométricas são funções inversas parciais. Por exemplo a função inversa de seno, (sen−1) ou arco seno (arcsen), deve satisfazer:

\sen(\operatorname{arcsen}) = x\quad\text{para} \quad |x| \leq 1

e

\operatorname{arcsen}(\sen x) = x\quad\text{para} \quad |x| \leq \pi/2
Função sen cos tan sec csc cot
Inversa arcsen arccos arctan arcsec arccsc arccot

Identidades pitagóricas[editar | editar código-fonte]

A relação básica entre seno e cosseno é a identidade trigonométrica fundamental:

\cos^2\theta + \sen^2\theta = 1\!

onde cos2 θ é igual (cos(θ))2 e sen2 θ é igual (sen(θ))2.

Isto pode ser deduzido através do Teorema de Pitágoras, vindo da equação x2 + y2 = 1 para um círculo unitário. Essa equação pode ser resolvida tanto com seno quanto com cosseno:

\sen\theta = \pm \sqrt{1-\cos^2\theta} \quad \text{e} \quad \cos\theta = \pm \sqrt{1 - \sen^2\theta}. \,

Identidades relacionadas[editar | editar código-fonte]

Dividindo-se a identidade trigonométrica fundamental tanto por cos2 θ quanto sen2 θ, obter-se-á duas identidades:

1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\quad\text{e}\quad 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta.\!


É possível representar qualquer relação de função trigonométrica relacionada a outra:

Lista de relações entre funções trigonométricas.1
relacionado a  \sen \theta\!  \cos \theta\!  \tan \theta\!  \csc \theta\!  \sec \theta\!  \cot \theta\!
   \sen \theta =\!    \sen \theta\ \pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\! \pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\!    \frac{1}{\csc \theta}\! \pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}\! \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\!
   \cos \theta =\! \pm\sqrt{1 - \sen^2\theta}\!    \cos \theta\! \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\! \pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}\!    \frac{1}{\sec \theta}\! \pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\!
   \tan \theta =\! \pm\frac{\sen \theta}{\sqrt{1 - \sen^2 \theta}}\! \pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}\!    \tan \theta\! \pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\! \pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}\!    \frac{1}{\cot \theta}\!
   \csc \theta =\!    \frac{1}{\sen \theta}\! \pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\! \pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}\!    \csc \theta\! \pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\! \pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}\!
   \sec \theta =\! \pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sen^2 \theta}}\!    \frac{1}{\cos \theta}\! \pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}\! \pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\!    \sec \theta\! \pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}\!
   \cot \theta =\! \pm\frac{\sqrt{1 - \sen^2 \theta}}{\sen \theta}\! \pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\!    \frac{1}{\tan \theta}\! \pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}\! \pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\!    \cot \theta\!

Simetria, translação e periodicidade[editar | editar código-fonte]

Examinando-se o círculo unitário, as seguintes propriedades trigonométricas podem ser estabelecidas:

Simetria[editar | editar código-fonte]

Ângulos replementares2 Ângulos complementares3 Ângulos suplementares

\begin{align}
\sen(-\theta) &= -\sen \theta \\
\cos(-\theta) &= +\cos \theta \\
\tan(-\theta) &= -\tan \theta \\
\csc(-\theta) &= -\csc \theta \\
\sec(-\theta) &= +\sec \theta \\
\cot(-\theta) &= -\cot \theta
\end{align}

\begin{align}
\sen(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\
\cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sen \theta \\
\tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cot \theta \\
\csc(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sec \theta \\
\sec(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\csc \theta \\
\cot(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta
\end{align}

\begin{align}
\sen(\pi - \theta) &= +\sen \theta \\
\cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\
\tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\
\csc(\pi - \theta) &= +\csc \theta \\
\sec(\pi - \theta) &= -\sec \theta \\
\cot(\pi - \theta) &= -\cot \theta \\
\end{align}

Translação e periodicidade[editar | editar código-fonte]

Trocando-se valores de certos ângulos, é possível obter equivalências entre as funções trigonométricas. Funções trigonométricas são periódicas, e portanto, valores específicos de ângulo para as funções trigonométricas denotam um mesmo valor.

Adicionando-se π/2 Adicionando-se π
Período para tan e cot4
Adicionando-se 2π
Período para sen, cos, csc e sec5

\begin{align}
\sen(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\
\cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sen \theta \\
\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\cot \theta \\
\csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta \\
\sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\
\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta
\end{align}

\begin{align}
\sen(\theta + \pi) &= -\sen \theta \\
\cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\
\tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\
\csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta \\
\sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\
\cot(\theta + \pi) &= +\cot \theta \\
\end{align}

\begin{align}
\sen(\theta + 2\pi) &= +\sen \theta \\
\cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\
\tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\
\csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta \\
\sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\
\cot(\theta + 2\pi) &= +\cot \theta
\end{align}

Teoremas de adição[editar | editar código-fonte]

A forma mais rápida de demonstrá-los é pela Fórmula de Euler. A fórmula da tangente segue das outras duas.

Seno \sen(\alpha \pm \beta) = \sen \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sen \beta \!6 7
Cosseno \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sen \alpha \sen \beta\,7 8
Tangente \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}7 9
Arco seno \operatorname{arcsen}\alpha \pm \operatorname{arcsen}\beta = \operatorname{arcsen}(\alpha\sqrt{1-\beta^2} \pm \beta\sqrt{1-\alpha^2})10
Arco coseno \arccos\alpha \pm \arccos\beta = \arccos(\alpha\beta \mp \sqrt{(1-\alpha^2)(1-\beta^2)})11
Arco tangente \arctan\alpha \pm \arctan\beta = \arctan\left(\frac{\alpha \pm \beta}{1 \mp \alpha\beta}\right)12

Fórmulas de arco múltiplo[editar | editar código-fonte]

Tn é o enésimo Polinômio de Chebyshev \cos n\theta =T_n (\cos \theta )\,  13
Sn é o enésimo polinômio de abertura \sen^2 n\theta = S_n (\sen^2\theta)\,
Fórmula de De Moivre, i é a unidade imaginária \cos n\theta +i\sen n\theta=(\cos(\theta)+i\sen(\theta))^n \,    14

Formulas de arco duplo, triplo e metade[editar | editar código-fonte]

Estas fórmulas podem ser demonstradas tanto pela soma quanto pela diferença de identidades ou pelas fórmulas de arcos múltiplos:

Fórmulas de arco duplo15 16
\begin{align}
\sen 2\theta &= 2 \sen \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}
\end{align} \begin{align}
\cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sen^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ 
&= 1 - 2 \sen^2 \theta \\ &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}
\end{align} \tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\! \cot 2\theta = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta}\!
Fórmulas de arco triplo13 17
\begin{align}\sen 3\theta & = 3 \cos^2\theta \sen\theta - \sen^3\theta \\
& = 3\sen\theta - 4\sen^3\theta \end{align} \begin{align}\cos 3\theta & = \cos^3\theta - 3 \sen^2 \theta\cos \theta \\
& = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta\end{align} \tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}\! \cot 3\theta = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}\!
Fórmulas de arco metade18 19
\begin{align}&\sen \frac{\theta}{2} = \sgn \!\! \left( \!\! 2 \pi \! - \! \theta \! + \! 4 \pi \! \left\lfloor \! \frac{\theta}{4\pi} \! \right\rfloor \! \right) \!\! \sqrt{\frac{1 \! - \! \cos \theta}{2}} \\ \\
&\left(\mathrm{ou}\,\,\sen^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}\right)\end{align} \begin{align}&\cos \frac{\theta}{2} = \sgn \!\! \left(\!\! \pi \! + \! \theta \! + \! 4 \pi \! \left\lfloor \! \frac{\pi \! - \! \theta}{4\pi} \! \right\rfloor \! \right) \!\! \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \\ \\
&\left(\mathrm{ou}\,\,\cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2}\right)\end{align} \begin{align} \tan \frac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{\sen \theta}{1 + \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{1-\cos \theta}{\sen \theta} \\[10pt]
\tan\frac{\eta+\theta}{2} & = \frac{\sen\eta+\sen\theta}{\cos\eta+\cos\theta} \\[8pt]
\tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) & = \sec\theta + \tan\theta \\[8pt]
\sqrt{\frac{1 - \sen\theta}{1 + \sen\theta}} & = \frac{1 - \tan(\theta/2)}{1 + \tan(\theta/2)} \\[8pt]
\tan\tfrac{1}{2}\theta & = \frac{\tan\theta}{1 + \sqrt{1+\tan^2\theta}} \\ &\mbox{para}\quad \theta \in \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2} \right)
\end{align} \begin{align} \cot \frac{\theta}{2} &= \csc \theta + \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{\sen \theta}{1 - \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{1 + \cos \theta}{\sen \theta} \end{align}

Fórmulas de redução de potências[editar | editar código-fonte]

Resolve-se com as fórmulas de duplo ângulo, isolando-se: \cos^2\theta\,\text{e}\operatorname{sen}^2\theta\,\text{.}

\cos^2\theta = \left(\frac {1 + \cos(2\theta)}{2}\right)
\operatorname{sen}^2\theta = \left(\frac {1 - \cos(2\theta)}{2}\right)

Produto para soma e soma para produto[editar | editar código-fonte]

Os produtos para somas e somas para produto podem ser provados por meio de substituições nos teoremas de adição.

Produto para soma20
\cos \theta \cos \varphi = {\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi) \over 2}
\sen \theta \sen \varphi = {\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi) \over 2}
\sen \theta \cos \varphi = {\sen(\theta + \varphi) + \sen(\theta - \varphi) \over 2}
\cos \theta \sen \varphi = {\sen(\theta + \varphi) - \sen(\theta - \varphi) \over 2}
Soma para produto21
\sen \theta \pm \sen \varphi = 2 \sen\left( \frac{\theta \pm \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta \mp \varphi}{2} \right)
\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)
\cos \theta - \cos \varphi = -2\sen\left( {\theta + \varphi \over 2}\right) \sen\left({\theta - \varphi \over 2}\right)

Cálculo[editar | editar código-fonte]

Se as funções trigonométricas são definidas geometricamente, então suas derivadas podem ser encontradas primeiramente verificando que \lim_{\theta\to 0} {\sen\theta}/\theta = 1\,\! e então usando a definição por limite da derivada e os teoremas de adição; se eles são definidos por suas Séries de Taylor, então as derivadas podem ser encontradas pela diferenciação das séries de potências termo a termo.

\frac {\partial}{\partial\theta} \operatorname{sen\theta} = \cos\theta

O restante das funções trigonométricas pode ser diferenciado usando as identidades acima e as regras de diferenciação, por exemplo

\frac {\partial}{\partial\theta} \cos\theta = -\operatorname{sen}\theta
\frac {\partial}{\partial\theta} \tan\theta = \sec^2\theta

Definições exponenciais[editar | editar código-fonte]

Função Função inversa22
\sen \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \, \operatorname{arcsen} x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right) \,
\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \, \arccos x = i\,\ln\left(x-i\,\sqrt{1-x^2}\right) \,
\tan \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})} \, \arctan x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right) \,
\csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \, \arccsc x = -i \ln \left(\tfrac{i}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{1}{x^2}}\right) \,
\sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}} \, \arcsec x = -i \ln \left(\tfrac{1}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{i}{x^2}}\right) \,
\cot \theta = \frac{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \, \arccot x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{x - i}{x + i}\right) \,
\operatorname{cis} \, \theta = e^{i\theta} \, \operatorname{arccis} \, x = \frac{\ln x}{i} = -i \ln x = \operatorname{arg} \, x \,

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45
  2. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15
  3. The Elementary Identities
  4. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.9
  5. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–8
  6. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16
  7. a b c Eric W. Weisstein, Trigonometric Addition Formulas em MathWorld
  8. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17
  9. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18
  10. Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.42
  11. Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.43
  12. Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.36
  13. a b Eric W. Weisstein, Multiple-Angle Formulas em MathWorld
  14. Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.48
  15. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26
  16. Eric W. Weisstein, Double-Angle Formulas em MathWorld
  17. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.27–28
  18. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22
  19. Eric W. Weisstein, Half-Angle Formulas em MathWorld
  20. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.31–33
  21. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.34–39
  22. Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31