Identidade trigonométrica

Trigonometria

História Funções Funções inversas Aprofundamento

Referência

Lista de identidades CORDIC

Teoria euclidiana

Lei dos senos Lei dos cossenos Lei das tangentes Teorema de Pitágoras

Cálculo

Integração trigonométrica Substituição trigonométrica Integrais de funções Diferenciação trigonométrica

Uma identidade trigonométrica é uma equação envolvendo funções trigonométricas e que é verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Estas identidades são úteis sempre que expressões envolvendo funções trigonométricas devam ser simplificadas. Uma importante aplicação é a integração de funções não-trigonométricas: um truque comum envolve primeiro usar a integração por substituição com uma função trigonométrica e então simplificar a integral resultante com uma identidade trigonométrica.

Notação

Ângulos

Esse artigo utiliza letras gregas tais como alfa (α), beta (β), theta (θ) e Phi (φ) para representar ângulos. Várias unidades de ângulo são largamente utilizadas, incluindo graus, radianos e grados:

1 volta completa  = 360 graus = 2$\pi$ radianos  =  400 grados.

A tabela a seguir mostra as conversões para alguns ângulos comuns:

Graus	30°	60°	120°	150°	210°	240°	300°	330°
Radianos	$\frac\pi6\!$	$\frac\pi3\!$	$\frac{2\pi}3\!$	$\frac{5\pi}6\!$	$\frac{7\pi}6\!$	$\frac{4\pi}3\!$	$\frac{5\pi}3\!$	$\frac{11\pi}6\!$
Grados	33⅓ grados	66⅔ grados	133⅓ grados	166⅔ grados	233⅓ grados	266⅔ grados	333⅓ grados	366⅔ grados
Graus	45°	90°	135°	180°	225°	270°	315°	360°
Radianos	$\frac\pi4\!$	$\frac\pi2\!$	$\frac{3\pi}4\!$	$\pi\!$	$\frac{5\pi}4\!$	$\frac{3\pi}2\!$	$\frac{7\pi}4\!$	$2\pi\!$
Grados	50 grados	100 grados	150 grados	200 grados	250 grados	300 grados	350 grados	400 grados

Funções trigonométricas

As funções trigonométricas básicas são o seno e o cosseno de um ângulo. Essas são abreviadas por sen(θ) e cos(θ), respectivamente, onde θ é o ângulo. Todavia as parênteses podem ser omitidas, como por exemplo sen θ and cos θ.

A função tangente (tg ou tan) de um ângulo é a razão do seno e o cosseno de um mesmo ângulo:

$\tan\theta = \frac{\sen\theta}{\cos\theta}.$

Finalmente, as funções trigonométricas de razão recíproca secante (sec), cossecante (csc) e cotangente (ctg), das funções cosseno, seno e tangente:

$\tan\theta = \frac {\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}\,\!$

$\cot\theta = \frac {1}{\tan\theta}\,\!$

$\sec\theta = \frac {1}{\cos\theta}\,\!$

$\csc\theta = \frac {1}{\operatorname{sen}\theta}\,\!$

Tabela de Trigonometria da Cyclopaedia (1728)

Funções inversas

Ver artigo principal: Funções trigonométricas inversas

As funções inversas trigonométricas são funções inversas parciais. Por exemplo a função inversa de seno, (sen⁻¹) ou arco seno (arcsen), deve satisfazer:

$\sen(\operatorname{arcsen}) = x\quad\text{para} \quad |x| \leq 1$

e

$\operatorname{arcsen}(\sen x) = x\quad\text{para} \quad |x| \leq \pi/2$

Função	sen	cos	tan	sec	csc	cot
Inversa	arcsen	arccos	arctan	arcsec	arccsc	arccot

Identidades pitagóricas

Ver artigo principal: Identidade trigonométrica fundamental

A relação básica entre seno e cosseno é a identidade trigonométrica fundamental:

$\cos^2\theta + \sen^2\theta = 1\!$

onde cos² θ é igual (cos(θ))² e sen² θ é igual (sen(θ))².

Isto pode ser deduzido através do Teorema de Pitágoras, vindo da equação x² + y² = 1 para um círculo unitário. Essa equação pode ser resolvida tanto com seno quanto com cosseno:

$\sen\theta = \pm \sqrt{1-\cos^2\theta} \quad \text{e} \quad \cos\theta = \pm \sqrt{1 - \sen^2\theta}. \,$

Identidades relacionadas

Dividindo-se a identidade trigonométrica fundamental tanto por cos² θ quanto sen² θ, obter-se-á duas identidades:

$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\quad\text{e}\quad 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta.\!$

É possível representar qualquer relação de função trigonométrica relacionada a outra:

Lista de relações entre funções trigonométricas.

relacionado a	$\sen \theta\!$	$\cos \theta\!$	$\tan \theta\!$	$\csc \theta\!$	$\sec \theta\!$	$\cot \theta\!$
$\sen \theta =\!$	$\sen \theta\$	$\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\!$	$\pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\!$	$\frac{1}{\csc \theta}\!$	$\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}\!$	$\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\!$
$\cos \theta =\!$	$\pm\sqrt{1 - \sen^2\theta}\!$	$\cos \theta\!$	$\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\!$	$\pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}\!$	$\frac{1}{\sec \theta}\!$	$\pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\!$
$\tan \theta =\!$	$\pm\frac{\sen \theta}{\sqrt{1 - \sen^2 \theta}}\!$	$\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}\!$	$\tan \theta\!$	$\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\!$	$\pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}\!$	$\frac{1}{\cot \theta}\!$
$\csc \theta =\!$	$\frac{1}{\sen \theta}\!$	$\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\!$	$\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}\!$	$\csc \theta\!$	$\pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\!$	$\pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}\!$
$\sec \theta =\!$	$\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sen^2 \theta}}\!$	$\frac{1}{\cos \theta}\!$	$\pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}\!$	$\pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\!$	$\sec \theta\!$	$\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}\!$
$\cot \theta =\!$	$\pm\frac{\sqrt{1 - \sen^2 \theta}}{\sen \theta}\!$	$\pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\!$	$\frac{1}{\tan \theta}\!$	$\pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}\!$	$\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\!$	$\cot \theta\!$

Simetria, translação e periodicidade

Examinando-se o círculo unitário, as seguintes propriedades trigonométricas podem ser estabelecidas:

Simetria

Ângulos replementares	Ângulos complementares	Ângulos suplementares
$\begin{align} \sen(-\theta) &= -\sen \theta \\ \cos(-\theta) &= +\cos \theta \\ \tan(-\theta) &= -\tan \theta \\ \csc(-\theta) &= -\csc \theta \\ \sec(-\theta) &= +\sec \theta \\ \cot(-\theta) &= -\cot \theta \end{align}$	$\begin{align} \sen(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\ \cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sen \theta \\ \tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cot \theta \\ \csc(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sec \theta \\ \sec(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\csc \theta \\ \cot(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta \end{align}$	$\begin{align} \sen(\pi - \theta) &= +\sen \theta \\ \cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\ \tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\ \csc(\pi - \theta) &= +\csc \theta \\ \sec(\pi - \theta) &= -\sec \theta \\ \cot(\pi - \theta) &= -\cot \theta \\ \end{align}$

Translação e periodicidade

Trocando-se valores de certos ângulos, é possível obter equivalências entre as funções trigonométricas. Funções trigonométricas são periódicas, e portanto, valores específicos de ângulo para as funções trigonométricas denotam um mesmo valor.

Adicionando-se π/2	Adicionando-se π Período para tan e cot	Adicionando-se 2π Período para sen, cos, csc e sec
$\begin{align} \sen(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\ \cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sen \theta \\ \tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\cot \theta \\ \csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta \\ \sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\ \cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta \end{align}$	$\begin{align} \sen(\theta + \pi) &= -\sen \theta \\ \cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\ \tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\ \csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta \\ \sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\ \cot(\theta + \pi) &= +\cot \theta \\ \end{align}$	$\begin{align} \sen(\theta + 2\pi) &= +\sen \theta \\ \cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\ \tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\ \csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta \\ \sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\ \cot(\theta + 2\pi) &= +\cot \theta \end{align}$

Teoremas de adição

A forma mais rápida de demonstrá-los é pela Fórmula de Euler. A fórmula da tangente segue das outras duas.

Seno	$\sen(\alpha \pm \beta) = \sen \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sen \beta \!$
Cosseno	$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sen \alpha \sen \beta\,$
Tangente	$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$
Arco seno	$\operatorname{arcsen}\alpha \pm \operatorname{arcsen}\beta = \operatorname{arcsen}(\alpha\sqrt{1-\beta^2} \pm \beta\sqrt{1-\alpha^2})$
Arco coseno	$\arccos\alpha \pm \arccos\beta = \arccos(\alpha\beta \mp \sqrt{(1-\alpha^2)(1-\beta^2)})$
Arco tangente	$\arctan\alpha \pm \arctan\beta = \arctan\left(\frac{\alpha \pm \beta}{1 \mp \alpha\beta}\right)$

Fórmulas de arco múltiplo

Tn é o enésimo Polinômio de Chebyshev	$\cos n\theta =T_n (\cos \theta )\,$
Sn é o enésimo polinômio de abertura	$\sen^2 n\theta = S_n (\sen^2\theta)\,$
Fórmula de De Moivre, $i$ é a unidade imaginária	$\cos n\theta +i\sen n\theta=(\cos(\theta)+i\sen(\theta))^n \,$

Formulas de arco duplo, triplo e metade

Estas fórmulas podem ser demonstradas tanto pela soma quanto pela diferença de identidades ou pelas fórmulas de arcos múltiplos:

Fórmulas de arco duplo
$\begin{align} \sen 2\theta &= 2 \sen \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$	$\begin{align} \cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sen^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ &= 1 - 2 \sen^2 \theta \\ &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$	$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\!$	$\cot 2\theta = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta}\!$
Fórmulas de arco triplo
$\begin{align}\sen 3\theta & = 3 \cos^2\theta \sen\theta - \sen^3\theta \\ & = 3\sen\theta - 4\sen^3\theta \end{align}$	$\begin{align}\cos 3\theta & = \cos^3\theta - 3 \sen^2 \theta\cos \theta \\ & = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta\end{align}$	$\tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}\!$	$\cot 3\theta = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}\!$
Fórmulas de arco metade
$\begin{align}&\sen \frac{\theta}{2} = \sgn \!\! \left( \!\! 2 \pi \! - \! \theta \! + \! 4 \pi \! \left\lfloor \! \frac{\theta}{4\pi} \! \right\rfloor \! \right) \!\! \sqrt{\frac{1 \! - \! \cos \theta}{2}} \\ \\ &\left(\mathrm{ou}\,\,\sen^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}\right)\end{align}$	$\begin{align}&\cos \frac{\theta}{2} = \sgn \!\! \left(\!\! \pi \! + \! \theta \! + \! 4 \pi \! \left\lfloor \! \frac{\pi \! - \! \theta}{4\pi} \! \right\rfloor \! \right) \!\! \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \\ \\ &\left(\mathrm{ou}\,\,\cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2}\right)\end{align}$	$\begin{align} \tan \frac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{\sen \theta}{1 + \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{1-\cos \theta}{\sen \theta} \\[10pt] \tan\frac{\eta+\theta}{2} & = \frac{\sen\eta+\sen\theta}{\cos\eta+\cos\theta} \\[8pt] \tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) & = \sec\theta + \tan\theta \\[8pt] \sqrt{\frac{1 - \sen\theta}{1 + \sen\theta}} & = \frac{1 - \tan(\theta/2)}{1 + \tan(\theta/2)} \\[8pt] \tan\tfrac{1}{2}\theta & = \frac{\tan\theta}{1 + \sqrt{1+\tan^2\theta}} \\ &\mbox{para}\quad \theta \in \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2} \right) \end{align}$	$\begin{align} \cot \frac{\theta}{2} &= \csc \theta + \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{\sen \theta}{1 - \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{1 + \cos \theta}{\sen \theta} \end{align}$

Fórmulas de redução de potências

Resolve-se com as fórmulas de duplo ângulo, isolando-se: $\cos^2\theta\,\text{e}\operatorname{sen}^2\theta\,\text{.}$

$\cos^2\theta = \left(\frac {1 + \cos(2\theta)}{2}\right)$

$\operatorname{sen}^2\theta = \left(\frac {1 - \cos(2\theta)}{2}\right)$

Produto para soma e soma para produto

Os produtos para somas e somas para produto podem ser provados por meio de substituições nos teoremas de adição.

Produto para soma $\cos \theta \cos \varphi = {\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi) \over 2}$ $\sen \theta \sen \varphi = {\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi) \over 2}$ $\sen \theta \cos \varphi = {\sen(\theta + \varphi) + \sen(\theta - \varphi) \over 2}$ $\cos \theta \sen \varphi = {\sen(\theta + \varphi) - \sen(\theta - \varphi) \over 2}$

Soma para produto $\sen \theta \pm \sen \varphi = 2 \sen\left( \frac{\theta \pm \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta \mp \varphi}{2} \right)$ $\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)$ $\cos \theta - \cos \varphi = -2\sen\left( {\theta + \varphi \over 2}\right) \sen\left({\theta - \varphi \over 2}\right)$

Cálculo

Ver página anexa: Lista de integrais de funções trigonométricas

Se as funções trigonométricas são definidas geometricamente, então suas derivadas podem ser encontradas primeiramente verificando que $\lim_{\theta\to 0} {\sen\theta}/\theta = 1\,\!$ e então usando a definição por limite da derivada e os teoremas de adição; se eles são definidos por suas Séries de Taylor, então as derivadas podem ser encontradas pela diferenciação das séries de potências termo a termo.

$\frac {\partial}{\partial\theta} \operatorname{sen\theta} = \cos\theta$

O restante das funções trigonométricas pode ser diferenciado usando as identidades acima e as regras de diferenciação, por exemplo

$\frac {\partial}{\partial\theta} \cos\theta = -\operatorname{sen}\theta$

$\frac {\partial}{\partial\theta} \tan\theta = \sec^2\theta$

Ver também

• Trigonometria