Transformada de Laplace

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Pierre-Simon Laplace.

Em matemática, particularmente na análise funcional, a transformada de Laplace de uma função f(t) definida para todo número real t ≥ 0 é a função F(s), definida por:

F(s) 
  = \mathcal{L}\{f\}(s)
  =\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt.

As propriedades desta transformada tornam-na útil para a análise de sistemas dinâmicos lineares. A vantagem mais interessante desta transformada integral é que a integração e a derivação tornam-se multiplicações e divisões, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicação em adição. Ela permite levar a resolução de equações diferenciais à resolução de equações polinomiais, que são muito mais simples de resolver.

A transformada de Laplace tem seu nome em homenagem ao matemático francês Pierre Simon Laplace.

Um abuso às vezes conveniente de notação, que acontece principalmente entre engenheiros e físicos, exprime isso da forma seguinte:

Transformada de Laplace.
F(s)
  = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}
  =\int_{0^+}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.

Quando se fala de transformada de Laplace, refere-se geralmente à versão unilateral. Existe também a transformada de Laplace bilateral, que se define como segue:

F_B(s)
  = \left\{\mathcal{L} f\right\}(s)
  =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.

A transformada de Laplace F(s) existe tipicamente para todos os números reais s > a, onde a é uma constante que depende do comportamento de crescimento de f(t).

A transformada de Laplace também pode ser utilizada na resolução de equações diferenciais, e é extensamente utilizada em Engenharia elétrica e Engenharia química.

Aplicabilidade[editar | editar código-fonte]

Note que a Transformada integral de Laplace, pelos limites de integração, é mais conveniente para problemas que possuem dependência temporal. Podemos utilizar o método da transformada de Laplace[1] para buscar Soluções de equações diferenciais.

Convolução de Laplace[editar | editar código-fonte]

Seja  f(t) e  g(t) funções de ordem exponencial  \alpha e  \beta com Transformada integral de Laplace  F(S) e  G(S), respectivamente. Pode-se notar que a transformada de Laplace do produto é diferente do produto das transformadas.

Exemplo:

 f(t) = g(t) = 1, se  f(t) se  \mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s}

, temos:

 \mathcal{L}\{f.g\} = \frac{1}{s} = \mathcal{L}\{f\} = \mathcal{L}\{g\}

que difere de  \mathcal{L}\{f\}.\mathcal{L}\{g\}.

Com isso, segue a seguinte definição extremamente conveniente neste sentido:

Definição[editar | editar código-fonte]

Para as funções  f(t) e  g(t) definidas anteriormente definimos o produto de convolução ( ou simplesmente convolução) entre  f(t) e  g(t) da seguinte forma:

 h(t) = (f*g)(t) = \int_{0}^{t} {f(t - \tau)g( \tau)}d\tau = \int_{0}^{t} {f( \tau)g(t - \tau)}d\tau

Observação:

 f(t)*g(t) = g(t)*f(t), f(t)*(g(t)*l(t)) = (f(t)*(g(t))*l(t)

Teorema:

A Transformada de Laplace do produto de convolução:

 \mathcal{L}\{f(t)*g(t)\} é igual ao produto das transformadas  F(S).G(S).

De fato,

 h(t) = (f*g)(t) = \int_{0}^{t} {f(t - \tau)g( \tau)}d\tau = \int_{0}^{t} {f( \tau)g(t - \tau)}d\tau

Calculemos a Transformada de Laplace de um produto de convolução, isto é:

 \mathcal{L}\{f(t)*g(t)\} = \int_{0}^{ \infty} {e^{-St}}d\tau \int_{0}^{t} {{f( \tau)g(t - \tau)}}d\tau

Introduzindo a mudança de variável t- \tau = \tau^{'} podemos escrever

 \mathcal{L}\{f(t)*g(t)\} = \int_{- \tau}^{ \infty} d\tau \int_{0}^{t} {{e^{-S( \tau + \tau^{'})}f( \tau)g(\tau^{'})}}d\tau

Definindo-se g(t)=0 para t<0 , o limite superior em vez de t pode ser tomado \infty , logo

 \mathcal{L}\{f(t)*g(t)\} = \int_{0}^{ \infty} {g(\tau^{'})e^{-S \tau^{'}}}d\tau^{'} \int_{0}^{\infty} {{f( \tau)e^{-St}}}d\tau = F(S)G(S), isto é, a transformada de Laplace do produto de convolução é o produto das transformadas.

Condições de existência da transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

Para que a transformada de Laplace de f(t) exista, é preciso que f(t) verifique as seguintes duas propriedades:

  • A função deverá ser parceladamente contínua, isto é, f(t)

poderá ter alguns pontos isolados onde é descontínua, mas será contínua em cada intervalo entre dois pontos de descontinuidade..[2]

  • A função f(t) deve ser uma função de ordem exponencial:

existe um número real a tal que o limite


    \lim_{t \rightarrow \infty} = |f(t)| e^{-at}

existe.

O domínio da transformada de Laplace de f(t) será s > a..[2]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Linearidade[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
  = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
    b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}

Derivada[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\{f'\}
  = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)

\mathcal{L}\{f''\}
  = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)

\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\}
  = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - s^{n - 2} f'(0)- \cdots - f^{(n - 1)}(0) = s^n\mathcal{L}\{f\} - \sum_{k=0}^{n-1}(s^{(n-1-k)}f^{(k)}(0))

\mathcal{L}\{ t f(t)\}
  = -F'(s)

\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma

Integral[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\beta) d\beta \right\}
  = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}

Composição[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\}
  = F(s - a) Amortização

\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\}
  = e^{at} f(t)

\mathcal{L}\left\{ f(t-a) \right\}
  = e^{-as}F(s) Atraso

\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\}
  = e^{-as} F(s)

\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\}
  = f(t - a) u(t - a)

Nota: u(t) é a função escalão unitário.

Valor final[editar | editar código-fonte]

\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)

Convolução[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\{f * g\}
  = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}

Transformada de Laplace de uma função de período p[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\{ f \}
  = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt

Deslocamento na frequência[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\left\{e^{at}f(t)\right\}=\int\limits^{0}_{\infty}fe^{(a-s)t}dt=\tilde{f}(s-a)

Deslocamento no tempo[editar | editar código-fonte]

A função escalão unitário, ou função de Heaviside. é definida assim[2] :

u(t-a)=\begin{cases}0,\,t\leq a \\ 1,\, t>a\end{cases} Consequentemente, o produto:

u(t-a)f(t-a)

é a função f(t) deslocada uma distância a no sentido positivo do eixo do tempo t , sendo nula para t < a. Calculando a transformada de Laplace temos:

\mathcal{L}\left\{u(t-a)f(t-a)\right\}=\int\limits^{a}_{\infty}f(t-a)e^{-st}dt=\int\limits^{0}_{\infty}f(r)e^{-s(r+a)}dr=e^{-as}\int\limits^{0}_{\infty}f(r)e^{-sr}dr

e concluímos que:

\mathcal{L}\left\{u(t-a)f(t-a)\right\}=e^{-as}\tilde{f}(s)

Isto é, quando a função é deslocada a unidades no sentido positivo do tempo t , a sua representação no domínio das frequências fica multiplicada por e^{-as} .[2] Essa propriedade é útil para calcular transformadas de funções com descontinuidades. Uma outra forma equivalente é a seguinte:

\mathcal{L}\left\{u(t-a)f(t)\right\}=e^{-as}\mathcal{L}\left\{f(t+a)\right\}

Potência n[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\{\,t^n\} = \frac {n!}{s^{n+1}}

Exponencial[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\{\,e^{-at}\} = \frac {1}{s+a}

Seno[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\{\,\sin(bt)\} = \frac {b}{s^2 + b^2}

Cosseno[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\{\,\cos(bt)\} = \frac {s}{s^2 + b^2}

Seno hiperbólico[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\{\,\sinh(bt)\} = \frac {b}{s^2-b^2}

Cosseno hiperbólico[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\{\,\cosh(bt)\} = \frac {s}{s^2 - b^2}

Demonstração
\begin{align}&\mathcal{L}\{\,\cosh(bt)\} = \frac {1}{2} \mathcal{L}\{\,e^{bt}+e^{-bt}\} = \\
  &\frac {1}{2} \left(\mathcal{L}\{\,e^{bt}\} + \mathcal{L}\{\,e^{-bt}\}\right) = \\
  &\frac {1}{2} \left(\frac {1}{s-b} + \frac {1}{s+b}\right) = \\
  &\frac {1}{2} \left(\frac {s + b + s - b}{s^2-b^2}\right) = \\
  &\frac {1}{2} \left(\frac {2s}{s^2-b^2}\right) = \\ 
  &\frac {s}{s^2-b^2}
 \end{align}

Logaritmo natural[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\{\,\ln(t)\} = - \frac{\ln(s)+\gamma}{s}

Raiz n-ésima[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\{\,\sqrt[n]{t}\} = s^{-\frac{n+1}{n}} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)

Função de Bessel do primeiro tipo[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\{\,J_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{1+s^2}}

Função de Bessel modificada do primeiro tipo[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\{\,I_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{-1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{-1+s^2}}

Funções sinusoidais[editar | editar código-fonte]

Para calcular a transformada de Laplace das funções sinusoidais é conveniente usar a fórmula de Euler:

f(t)=f_\text{máx}\cos(\omega t+\varphi)=Re\left(f_\text{máx}\,e^{i(\omega t+\varphi)}\right)=Re\left(f_\text{máx}\,e^{i\varphi}e^{i\omega t}\right)

Função erro[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\{\,\operatorname{erf}(t)\} = {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}

Algumas transformadas usuais[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\{t\}= {1 \over s^2}

\mathcal{L}\{t^n\}= {n! \over s^{n+1}}

\mathcal{L}\{e^{-at}\}= {1 \over s + a}

\mathcal{L}\{e^{-at} t^n\}= {n! \over (s + a)^{n+1}}

\mathcal{L}\{\sin\omega t\}= {\omega \over s^2+\omega^2}

\mathcal{L}\{\cos\omega t\}= {s \over s^2+\omega^2}

Delta de Dirac[editar | editar código-fonte]

 f_ \varepsilon(t) = \frac{1}{ \varepsilon }, se  a \leq t \leq a+ \varepsilon, ou

 f_ \varepsilon(t) = 0, se  t < a ou  a + \varepsilon < t.

Pela definição da Delta de Dirac temos:

  \int_{-\infty}^{\infty} f_ \varepsilon(t)\,dt = \int_{0}^{\infty} f_ \varepsilon(t)\,dt = \int_{a}^{a + \varepsilon} f_ \varepsilon(t)\,dt = 1

Com isto, podemos definir a função  f_ \varepsilon(t) em termos de funções degrau, isto é,

 f_ \varepsilon(t) = \frac{1}{\varepsilon}(u(t-a)-u(t-(a + \varepsilon)))

Assim,

 \mathcal{L}\{f_ \varepsilon(t)\} = \frac{1}{\varepsilon}\left( \frac{e^{-aS}}{S} - \frac{e^{-(a + \varepsilon)S}}{S} \right) = \frac{e^{-aS}}{S \varepsilon}(1-e^{-S \varepsilon }).

Definição:

A "função" Delta de Dirac[3] pode ser expressa por:

 \delta_a(t) = \delta (t-a) = \lim_{\varepsilon \to \infty} f_\varepsilon(t)

isto é,

  \int_{-\infty}^{\infty} \delta (t-a)\,dt = \int_{0}^{\infty} \delta (t-a)\,dt = \int_{a}^{a + \varepsilon} \delta (t-a)\,dt = 1.

 \mathcal{L}\{\delta(t-a)\} = \lim_{\varepsilon \to \infty} \frac{e^{-aS}(1-e^{-S \varepsilon})}{S \varepsilon} = \lim_{\varepsilon \to \infty} e^{-aS}\left(\frac{Se^{-S \varepsilon}}{S}\right) = e^{-aS}.

Transformadas de Funções Elementares[editar | editar código-fonte]

A transformada de t^p, onde p é qualquer número real, é[2] :


  \mathcal{L}{t^p} = \int\limits_0^\infty t^p e^{-st} d t

usando a mudança de variável u = st, o integral transforma-se numa função gama:


  \mathcal{L}{t^p} = \int\limits_0^\infty (u/s)^p e^{-u} \frac{d u}{s}
  = s^{-(p + 1)} \int\limits_0^\infty u^p e^{-u} d u
  = \frac{\Gamma(p + 1)}{s^{p + 1}}

em particular, quando p for um número inteiro positivo n,


  \mathcal{L}{t^n} = \frac{n!}{s^{n + 1}}

e para n = 0


  \mathcal{L}{1} = \frac{1}{s}

Aplicando a propriedade de deslocamento em s, podemos calcular a transformada da função exponencial


  \color{Red}{\mathcal{L}{e^{at}} = \mathcal{L}{1}(s - a) = \frac{1}{s - a}}

e usando a propriedade da derivada da transformada


  \mathcal{L}{t e^{at}} = -{d \over ds}\bigg(\frac{1}{s - a}\bigg)
  = \frac{1}{(s - a)^2}

O mesmo resultado podia ter sido obtido a partir da transformada de t, usando a propriedade de deslocamento em s.[2]

As transformadas do seno e do co-seno podem ser calculadas substituindo a = \mathrm{i} b na Equação e usando a fórmula de Euler


  \mathcal{L}{e^{\mathrm{i} bt}} = \mathcal{L}{\cos(bt) + \mathrm{i} \sin(bt)}
  = \frac{1}{s - \mathrm{i} b} = \frac{s + \mathrm{i} b}{s^2 + b^2}

comparando as partes reais e imaginárias, concluímos:


  \mathcal{L}{\cos(bt)} = \frac{s}{s^2 + b^2}


  \mathcal{L}{\sin(bt)} = \frac{b}{s^2 + b^2}

Resolução de equações diferenciais por meio da transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

As transformadas de Laplace das derivadas de uma função são todas proporcionais à transformada da função original, multiplicada por s^n, onde n/ é a ordem da derivada.

Esta propriedade permite transformar uma equação diferencial linear, com coeficientes constantes numa equação algébrica.[2] Por exemplo, consideremos a equação:


  3 y'' - 12 y' + 12 y = 4 \mathrm{e}^{2x} \sin(2x)

Transformando os dois lados da equação e usando a propriedade de linearidade, obtemos:


  3 \mathcal{L}{y''} - 12 \mathcal{L}{y'} + 12 \mathcal{L}{y} = 4 \mathcal{L}{\mathrm{e}^{2x} \sin(2x)}

cada um dos termos pode ser calculado usando as propriedades da transformada de Laplace:


\begin{align}
  &\mathcal{L}{y} = Y(s)\\
  &\mathcal{L}{y'} = s Y(s) - y(0)\\
  &\mathcal{L}{y''} = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
\end{align}


  \mathcal{L}{e^{2x} \sin(2x)} = \frac{2}{(s - 2)^2 + 4}

a transformada da equação diferencial é


   3 s^2 Y - 3 C_1 s - 3 C_2 -12 s Y + 12 C_1 + 12 Y = \frac{8}{(s - 2)^2 + 4}

onde A e B são duas constantes, iguais aos valores iniciais de y e y' em x = 0.[2]

Esta equação é uma equação algébrica que pode ser facilmente simplificada, conduzindo à função Y:


  Y = \frac{3 C_1 s + 3 C_2 - 3 C_1}{3 s^2 - 12 s + 12}
  + \frac{8}{[(s - 2)^2 + 4](3 s^2 - 12 s +12)}

A solução da EDO é a transformada inversa desta função. Usando a expansão em frações parciais:


  Y = \frac{A}{s - 2} + \frac{B}{(s - 2)^2}
  + \frac{2 C}{(s - 2)^2 + 4} + \frac{D(s - 2)}{(s - 2)^2 + 4}

onde A, B, C e D são constantes que podem ser calculadas comparando as duas últimas equações:


  A = C_1 \qquad B = C_2 - 2 C_1 + \frac{2}{3} \qquad C = - \frac{1}{3}
  \qquad D = 0

A transformada inversa de cada uma das frações parciais é facilmente identificada, usando as transformadas calculadas em seções anteriores.[2] A resposta final é:


  y(x) = [(1 - 2 x)y(0) + x y'(0) + \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3} \sin(2 x)]
  e^{2x}

Equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis[editar | editar código-fonte]

Quando os coeficientes de uma equação diferencial linear são polinômios, a transformada de Laplace pode ser calculada usando os seguintes resultados:


\begin{align}
  &\mathcal{L}{t^n y}  =  (-1)^n \frac{d^n Y}{d s^n}\\
  &\mathcal{L}{t^n y'}  =  (-1)^n \frac{d^n{s}}{d s^n}[sY - y(0)]
  = (-1)^n \frac{d^n(sY)}{d s^n}\\
  &\mathcal{L}{t^n y''}  =  (-1)^n \frac{d^n{s}}{d s^n}[s^2 Y - s y(0)]
\end{align}

A transformada da equação diferencial será outra equação diferencial para a função Y, de ordem igual ao maior grau dos coeficientes da equação original. Em alguns casos a equação diferencial obtida resulta ser mais fácil de resolver do que a equação original.

A transformada de Laplace Y e as suas derivadas deverão ser funções assimptoticamente decrescentes; esta propriedade das transformadas de Laplace impõe condições fronteira para a equação diferencial obtida.

Equações diferenciais lineares com entrada descontínua[editar | editar código-fonte]

O lado direito de uma equação linear não homogênea pode ser considerado como a entrada num sistema linear que verifica o princípio de sobreposição. Quando a entrada é descontínua, a saída é contínua pois a solução de uma equação diferencial é uma função derivável.

O método da transformada de Laplace é principalmente útil para resolver equações diferenciais com entrada descontínua, já que a transformada de uma função parceladamente contínua é uma função contínua.

Para representar funções descontínuas é conveniente definir a função degrau unitário (também conhecida por função de Heaviside):


  u(t - a) = \Bigg\{
  \begin{array}{ll}
    0 & t < a\\ 1 & t \geq a
  \end{array}

Se a < b, a função:


  u(t - a) - u(t - b)

é igual a 1 no intervalo a < t < b e zero fora do intervalo. Assim, uma função definida em forma diferente em diferentes intervalos, por exemplo,


  f(t) = \Bigg\{
  \begin{array}{ll}
    f_1(t) & a \leq t < b\\ f_2(t) & c \leq t < d
  \end{array}

pode ser escrita na forma compacta:


  f(t) = [u(t - a) - u(t - b)] f_1(t) + [u(t - c) - u(t - d)] f_2(t)

facilitando o cálculo da sua transformada de Laplace.

Impulso unitário[editar | editar código-fonte]

Em física uma força impulsiva é uma força f(t) que atua durante um pequeno intervalo de tempo \Delta t. O aumento total da quantidade de movimento, devido à força f(t), é igual ao impulso:


  I = \int\limits_{t_0}^{t_0+\Delta t} f(t) d t

Uma função de impulso unitário é uma função f(t) que produz um impulso igual a 1:


  \int\limits_{t_0}^{t_0+\Delta t} f(t) d t = 1

Um exemplo é a função:


  \frac{u(t - t_0) - u(t - t_0 - \Delta t)}{\Delta t}

constante no intervalo t_0 \leq x < t_0+\Delta t.

Consideremos uma sucessão de impulsos unitários f_n com intervalos \Delta t_n decrescentes.

Por exemplo, as funções


  \color{Blue}{f_n = n [u(t - t_0) - u(t - t_0 - 1/n)]}

onde u é a função degrau unitário. Neste exemplo cada função f_n é igual a n no intervalo de t entre a e a + 1/n, e zero fora dele.

O intervalo de duração do impulso é \Delta t_n = 1/n e a função f_n é um impulso unitário. A medida que n aumenta, o gráfico da função f_n é cada vez mais alto, e dentro de um intervalo mais pequeno.

O limite de uma sucessão de impulsos unitários com intervalos decrescentes, aproximando-se para zero, é designado função delta de Dirac


  \delta (t - t_0) = \lim_{n\rightarrow \infty} f_n(t)

a função \delta é nula em qualquer ponto diferente de t_0, infinita em t_0 mas o seu impulso é igual a 1.

A função delta de Dirac não é realmente uma função mas sim um funcional (limite de funções), e daí que o seu integral possa ser diferente de zero enquanto que a função é nula em qualquer ponto diferente de t_0. Uma propriedade importante da função delta de Dirac é o teorema que se segue.

  • Se f(t) é uma função contínua em t_0,


    \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta (t - t_0) d t = f(t_0)

Para resolver equações diferenciais onde apareçam termos impulsivos, será útil conhecer a transformada de Laplace; para a calcular substituiremos a função delta pelo limite da sucessão de impulsos unitários representados na Equação).


  \mathcal{L}{\delta(t - t_0)} = \lim_{n\rightarrow\infty} \mathcal{L}{n[u(t - t_0) - u(t -
    t_0 - 1/n)]} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n}{s} \left[e^{-t_0s} -
    e^{-(t_0 + 1/n) s}\right]

e, portanto,


  \mathcal{L}{\delta(t - t_0)} = e^{-t_0s}

Transformada de Laplace Inversa[editar | editar código-fonte]

Se F(S)= \mathcal{L}^{-1}\{f(t)\} [4] então:

f(t)=\begin{cases}
\dfrac{1}{2i\pi} \displaystyle\int_{ \gamma - i\infty}^{ \gamma + i\infty} F(S)e^{St}dS  & \text{ se }  t\geq0\\ 
0 & \text{ se } t<0
\end{cases}

Na prática o cálculo da Transformada de Laplace Inversa se reduz ao cálculo dos resíduos de e^{St}F(S) considerando o teorema dos resíduos, nos pólos de F(S), em conjunto com o Lema de Jordan.

Consideremos:

 \mathcal{L}^{-1}\{F(S)\}= \dfrac{1}{2i\pi} \displaystyle\int_{ \gamma - i\infty}^{ \gamma + i\infty} F(S)e^{St}dS

Pelo teorema dos resíduos, temos:

 \oint F(S)e^{St}dS = 2i \pi \sum Res(F(S)e^{St})

 \displaystyle\int_{ \Gamma_{R}} F(S)e^{St}dS + \displaystyle\int_{ \Gamma_{-R}} F(S)e^{St}dS + \displaystyle\int_{ \gamma - i\infty}^{ \gamma + i\infty} F(S)e^{St}dS=2i \pi \sum Res(F(S)e^{St})= e^{at}

Para S em \Gamma_{R} ou S em \Gamma_{-R}, S=Re^{i\theta}

\lim_{R \to \infty} \left[\displaystyle\int_{ \Gamma_{R}} F(S)e^{St}dS + \displaystyle\int_{ \Gamma_{-R}} F(S)e^{St}dS\right]=0

Tomando \lim_{R \to \infty} temos:

 \mathcal{L}^{-1}\{F(S)\}= \sum Res(F(S)e^{St})

Basta analisar as singularidades de F(S)

Com isto, por exemplo, se considerarmos \frac{1}{S-a} temos apenas um pólo simples em S=a

 \mathcal{L}^{-1}\{F(S)\}= \sum Res\left(\frac{e^{St}}{S-a}\right)

 \mathcal{L}^{-1}\{F(S)\} = \lim_{S \to a}\left(\frac{(S-a)e^{St}}{S-a}\right)

Tabela de transformadas inversas de Laplace[editar | editar código-fonte]

Transformada de Laplace Função no domínio Tempo
1 \delta(t), impulso unitário
\frac{1}{s} u(t), escalão ou degrau unitário
\frac{1}{s^2} tu(t), rampa unitária
\frac{1}{(s+a)^n} \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}
\frac{1}{s(s+a)} \frac{1}{a}\left(1-e^{-at}\right)
\frac{1}{(s+a)(s+b)} \frac{1}{b-a}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)
\frac{s+c}{(s+a)^2+b^2} e^{-at}\left(\cos{(bt)}+\left(\frac{c-a}{b}\right)\sin{(bt)}\right)
\frac{s\sin\varphi +a\cos\varphi}{s^2+a^2} \sin{(at+\varphi)}
\frac{s\cos\varphi -a\sin\varphi}{s^2+a^2} \cos{(at+\varphi)}

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. E. Boyce, William; Diprima, Richard C.. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno (em português). oitava ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. ISBN 978-85-216-1499-9
  2. a b c d e f g h i [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.
  3. G. Zill, Dennis. Equações Diferenciais com aplicações em modelagem (em português). 9ª ed. Loyla Marymount University: Cengage Learning, 2011. ISBN 978-85-221-1059-9
  4. Camargo, Rubens de Figueiredo. "Do teorema de Cauchy ao método de Cagniard"