Transformada de Laplace

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Pierre-Simon Laplace.

Em matemática, particularmente na análise funcional, a transformada de Laplace de uma função f(t) definida para todo número real t ≥ 0 é a função F(s), definida por:

F(s)
  = \mathcal{L}\{f\}(s)
  =\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt.

As propriedades desta transformada tornam-na útil para a análise de sistemas dinâmicos lineares. A vantagem mais interessante desta transformada integral é que a integração e a derivação tornam-se multiplicações e divisões, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicação em adição. Ela permite levar a resolução de equações diferenciais à resolução de equações polinomiais, que são muito mais simples de resolver.

A transformada de Laplace tem seu nome em homenagem ao matemático francês Pierre Simon Laplace.

Um abuso às vezes conveniente de notação, que acontece principalmente entre engenheiros e físicos, exprime isso da forma seguinte:

Transformada de Laplace.
F(s)
  = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}
  =\int_{0^+}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.

Quando se fala de transformada de Laplace, refere-se geralmente à versão unilateral. Existe também a transformada de Laplace bilateral, que se define como segue:

F_B(s)
  = \mathcal{L}\left\{f(s)\right\}
  =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.

A transformada de Laplace F(s) existe tipicamente para todos os números reais s > a, onde a é uma constante que depende do comportamento de crescimento de f(t).

A transformada de Laplace também pode ser utilizada na resolução de equações diferenciais, e é extensamente utilizada em Engenharia elétrica e Engenharia química.

Aplicabilidade[editar | editar código-fonte]

Note que a Transformada integral de Laplace, pelos limites de integração, é mais conveniente para problemas que possuem dependência temporal. Podemos utilizar o método da transformada de Laplace[1] para buscar Soluções de equações diferenciais.

Convolução de Laplace[editar | editar código-fonte]

Seja  f(t) e  g(t) funções de ordem exponencial  \alpha e  \beta com Transformada integral de Laplace  F(S) e  G(S), respectivamente. Pode-se notar que a transformada de Laplace do produto é diferente do produto das transformadas.

Exemplo:

 f(t) = g(t) = 1, se  f(t) se  \mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s},

temos:

 \mathcal{L}\{f.g\} = \frac{1}{s} = \mathcal{L}\{f\} = \mathcal{L}\{g\},

que difere de  \mathcal{L}\{f\}\cdot\mathcal{L}\{g\}.

Com isso, segue a seguinte definição extremamente conveniente neste sentido:

Definição[editar | editar código-fonte]

Para as funções  f(t) e  g(t) definidas anteriormente definimos o produto de convolução ( ou simplesmente convolução) entre  f(t) e  g(t) da seguinte forma:

 h(t) = (f*g)(t) = \int_{0}^{t} {f(t - \tau)g( \tau)}d\tau = \int_{0}^{t} {f( \tau)g(t - \tau)}d\tau

Observação:

 f(t)*g(t) = g(t)*f(t), f(t)*(g(t)*l(t)) = (f(t)*(g(t))*l(t)

Teorema:

A Transformada de Laplace do produto de convolução:

 \mathcal{L}\{f(t)*g(t)\} é igual ao produto das transformadas  F(S).G(S).

De fato,

 h(t) = (f*g)(t) = \int_{0}^{t} {f(t - \tau)g( \tau)}d\tau = \int_{0}^{t} {f( \tau)g(t - \tau)}d\tau

Calculemos a Transformada de Laplace de um produto de convolução, isto é:

 \mathcal{L}\{f(t)*g(t)\} = \int_{0}^{ \infty} {e^{-St}}d\tau \int_{0}^{t} {{f( \tau)g(t - \tau)}}d\tau

Introduzindo a mudança de variável t- \tau = \tau^{'} podemos escrever

 \mathcal{L}\{f(t)*g(t)\} = \int_{- \tau}^{ \infty} d\tau \int_{0}^{t} {{e^{-S( \tau + \tau^{'})}f( \tau)g(\tau^{'})}}d\tau

Definindo-se g(t)=0 para t<0 , o limite superior em vez de t pode ser tomado \infty , logo

 \mathcal{L}\{f(t)*g(t)\} = \int_{0}^{ \infty} {g(\tau^{'})e^{-S \tau^{'}}}d\tau^{'} \int_{0}^{\infty} {{f( \tau)e^{-St}}}d\tau = F(S)G(S), isto é, a transformada de Laplace do produto de convolução é o produto das transformadas.

Condições de existência da transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

Para que a transformada de Laplace de f(t) exista, é preciso que f(t) verifique as seguintes duas propriedades:

  • A função deverá ser parceladamente contínua, isto é, f(t)

poderá ter alguns pontos isolados onde é descontínua, mas será contínua em cada intervalo entre dois pontos de descontinuidade..[2]

  • A função f(t) deve ser uma função de ordem exponencial:

existe um número real a tal que o limite


    \lim_{t \rightarrow \infty} = |f(t)| e^{-at}

existe.

O domínio da transformada de Laplace de f(t) será s > a..[2]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Linearidade[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
  = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
    b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}

Derivada[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\{f'\}
  = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)

\mathcal{L}\{f''\}
  = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)

\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\}
  = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - s^{n - 2} f'(0)- \cdots - f^{(n - 1)}(0) = s^n\mathcal{L}\{f\} - \sum_{k=0}^{n-1}(s^{(n-1-k)}f^{(k)}(0))

\mathcal{L}\{ t f(t)\}
  = -F'(s)

\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma

Integral[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\beta) d\beta \right\}
  = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}

Composição[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\}
  = F(s - a) Amortização

\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\}
  = e^{at} f(t)

\mathcal{L}\left\{ f(t-a) \right\}
  = e^{-as}F(s) Atraso

\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\}
  = e^{-as} F(s)

\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\}
  = f(t - a) u(t - a)

Nota: u(t) é a função escalão unitário.

Valor final[editar | editar código-fonte]

\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)

Convolução[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\{f * g\}
  = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}

Transformada de Laplace de uma função de período p[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\{ f \}
  = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt

Deslocamento na frequência[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\left\{e^{at}f(t)\right\}=\int\limits^{0}_{\infty}fe^{(a-s)t}dt=\tilde{f}(s-a)

Deslocamento no tempo[editar | editar código-fonte]

A função escalão unitário, ou função de Heaviside. é definida assim[2] :

u(t-a)=\begin{cases}0,\,t\leq a \\ 1,\, t>a\end{cases} Consequentemente, o produto:

u(t-a)f(t-a)

é a função f(t) deslocada uma distância a no sentido positivo do eixo do tempo t , sendo nula para t < a. Calculando a transformada de Laplace temos:

\mathcal{L}\left\{u(t-a)f(t-a)\right\}=\int\limits^{a}_{\infty}f(t-a)e^{-st}dt=\int\limits^{0}_{\infty}f(r)e^{-s(r+a)}dr=e^{-as}\int\limits^{0}_{\infty}f(r)e^{-sr}dr

e concluímos que:

\mathcal{L}\left\{u(t-a)f(t-a)\right\}=e^{-as}\tilde{f}(s)

Isto é, quando a função é deslocada a unidades no sentido positivo do tempo t , a sua representação no domínio das frequências fica multiplicada por e^{-as} .[2] Essa propriedade é útil para calcular transformadas de funções com descontinuidades. Uma outra forma equivalente é a seguinte:

\mathcal{L}\left\{u(t-a)f(t)\right\}=e^{-as}\mathcal{L}\left\{f(t+a)\right\}

Cosseno hiperbólico[editar | editar código-fonte]

\mathcal{L}\{\,\cosh(bt)\} = \frac {s}{s^2 - b^2}

Demonstração
	\begin{align}
	\mathcal{L}\{\cosh(bt)\} &= \dfrac{1}{2}\mathcal{L}\{e^{bt}+e^{-bt}\}\\
	&=\dfrac{1}{2}\left(\mathcal{L}\{e^{bt}\}+\mathcal{L}\{e^{-bt} \}\right)\\
	&=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{s-b}+\dfrac{1}{s+b}\right)\\
	&=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{s+b+s-b}{s^{2}-b^{2}}\right)\\
	&=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2s}{s^{2}-b^{2}}\right)\\
	&=\dfrac{s}{s^{2}-b^{2}}.
	\end{align}

Funções sinusoidais[editar | editar código-fonte]

Para calcular a transformada de Laplace das funções sinusoidais é conveniente usar a fórmula de Euler:

f(t)=f_\text{máx}\cos(\omega t+\varphi)=Re\left(f_\text{máx}\,e^{i(\omega t+\varphi)}\right)=Re\left(f_\text{máx}\,e^{i\varphi}e^{i\omega t}\right)

Tabela de Transformadas de Laplace selecionadas[editar | editar código-fonte]

A tabela a seguir provê as transformadas de Laplace para as funções mais comuns de uma variável.[3] [4] Para definições e exemplos, veja a nota explicatória no fim da tabela.

Porque a transformada de Laplace é um operador linear:

  • A transformada de Laplace de uma soma é a soma das transformadas de Laplace de cada termo.
\mathcal{L}\left\{f(t) + g(t) \right\}  = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} + \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}
  • A transformada de Laplace de um múltiplo de uma função é o múltiplo vezes a transformada de Laplace da função.
\mathcal{L}\left\{a f(t)\right\}  = a \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\}

Usando esta linearidade, e várias trigonométricas, hiperbólicas e complexas propriedades e/ou identidades, algumas transformadas de Laplace podem ser obtidas de outras mais rápida do que diretamente pela definição.

A unilateralidade da transformada de Laplace toma como entrada uma função cujo domínio são os reais não negativos, este é o motivo de todas as funções no domínio de tempo na tabela abaixo serem múltiplas da Função de Heaviside, u(t). As entradas desta tabela que envolvem um tempo de atraso τ são obrigadas a serem causais (para τ > 0). Um sistema causal é um sistema em que a resposta do impulso resposta ao impulso h(t) é zero para todo tempo t prévio a t = 0. Em geral, a região de convergência para um sistema causal não é o mesmo para um sistema anti causal.

Função Domínio de tempo
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\}
Laplace s-domínio
F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}
Região de Convergência Referencia
impulso único  \delta(t) \  1  todo s inspeção
impulso atrasado  \delta(t - \tau) \  e^{-\tau s} \ mudança de tempo do
impulso único
passo único  u(t) \  { 1 \over s } Re(s) > 0 integral do impulso único
passo único atrasado  u(t - \tau) \  \frac{1}{s} e^{-\tau s} Re(s) > 0 mudança de tempo do
passo único
rampa  t \cdot u(t)\ \frac{1}{s^2} Re(s) > 0 integral do impulso
único duas vezes
n-ésima potência
( para n inteiro)
 t^n \cdot u(t)  { n! \over s^{n + 1} } Re(s) > 0
(n > −1)
Integral do passo
único n vezes
q-ésima potência
(para q complexo)
 t^q \cdot u(t)  { \Gamma(q + 1) \over s^{q + 1} } Re(s) > 0
Re(q) > −1
[5] [6]
n-ésima raiz  \sqrt[n]{t} \cdot u(t)  { 1 \over s^{\frac{1}{n}+1} } \Gamma\left(\frac{1}{n} + 1\right) Re(s) > 0 Deixe q = 1/n acima.
n-ésima potência com mudança de frequência t^{n} e^{-\alpha t} \cdot u(t) \frac{n!}{(s+\alpha)^{n+1}} Re(s) > −α Integral do passo único
aplique a mudança de frequência
n-ésima potência atrasada
com mudança de frequência
(t-\tau)^n e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)  \frac{n! \cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}} Re(s) > −α Integral do passo único,
aplique a mudança de frequência,
aplique a mudança de tempo
Decaimento exponencial  e^{-\alpha t} \cdot u(t)    { 1 \over s+\alpha } Re(s) > −α Mudança de frequência do
passo único
Decaimento exponencial bilateral  e^{-\alpha|t|}  \  { 2\alpha \over \alpha^2 - s^2 } −α < Re(s) < α Mudança de frequência do
passo único
aproximação exponencial ( 1-e^{-\alpha t})  \cdot u(t)  \ \frac{\alpha}{s(s+\alpha)} Re(s) > 0 passo único menos
decaimento exponencial
Seno  \sin(\omega t) \cdot u(t) \  { \omega \over s^2 + \omega^2  } Re(s) > 0 Bracewell 1978, p. 227
Cosseno  \cos(\omega t) \cdot u(t) \  { s \over s^2 + \omega^2  } Re(s) > 0 Bracewell 1978, p. 227
Seno hiperbólico  \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \  { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } Re(s) > |α| Williams 1973, p. 88
Cosseno hiperbólico  \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \  { s \over s^2 - \alpha^2  } Re(s) > |α| Williams 1973, p. 88
decaimento exponencial
onda senoidal
e^{-\alpha t}  \sin(\omega t) \cdot u(t) \  { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  } Re(s) > −α Bracewell 1978, p. 227
decaimento exponencial
onda cossenoidal
e^{-\alpha t}  \cos(\omega t) \cdot u(t) \  { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  } Re(s) > −α Bracewell 1978, p. 227
Logaritmo natural  \ln (t) \cdot u(t)  - { 1 \over s}\, \left[ \ln(s)+\gamma \right] Re(s) > 0 Williams 1973, p. 88
Função de Bessel
de primeira espécie,
de ordem n
 J_n( \omega t) \cdot u(t) \frac{ \left(\sqrt{s^2+ \omega^2}-s\right)^{n}}{\omega^n \sqrt{s^2 + \omega^2}} Re(s) > 0
(n > −1)
Williams 1973, p. 89
Função erro  \mathrm{erf}(t) \cdot u(t)  \frac{1}{s}e^{\frac{1}{4}s^2} \left(1 - \operatorname{erf} \frac{s}{2}\right) Re(s) > 0 Williams 1973, p. 89
Nota explicatória:

Delta de Dirac[editar | editar código-fonte]

 f_ \varepsilon(t) = \frac{1}{ \varepsilon }, se  a \leq t \leq a+ \varepsilon, ou

 f_ \varepsilon(t) = 0, se  t < a ou  a + \varepsilon < t.

Pela definição da Delta de Dirac temos:

  \int_{-\infty}^{\infty} f_ \varepsilon(t)\,dt = \int_{0}^{\infty} f_ \varepsilon(t)\,dt = \int_{a}^{a + \varepsilon} f_ \varepsilon(t)\,dt = 1

Com isto, podemos definir a função  f_ \varepsilon(t) em termos de funções degrau, isto é,

 f_ \varepsilon(t) = \frac{1}{\varepsilon}(u(t-a)-u(t-(a + \varepsilon)))

Assim,

 \mathcal{L}\{f_ \varepsilon(t)\} = \frac{1}{\varepsilon}\left( \frac{e^{-aS}}{S} - \frac{e^{-(a + \varepsilon)S}}{S} \right) = \frac{e^{-aS}}{S \varepsilon}(1-e^{-S \varepsilon }).

Definição:

A "função" Delta de Dirac[7] pode ser expressa por:

 \delta_a(t) = \delta (t-a) = \lim_{\varepsilon \to \infty} f_\varepsilon(t)

isto é,

  \int_{-\infty}^{\infty} \delta (t-a)\,dt = \int_{0}^{\infty} \delta (t-a)\,dt = \int_{a}^{a + \varepsilon} \delta (t-a)\,dt = 1.

 \mathcal{L}\{\delta(t-a)\} = \lim_{\varepsilon \to \infty} \frac{e^{-aS}(1-e^{-S \varepsilon})}{S \varepsilon} = \lim_{\varepsilon \to \infty} e^{-aS}\left(\frac{Se^{-S \varepsilon}}{S}\right) = e^{-aS}.

Transformadas de Funções Elementares[editar | editar código-fonte]

A transformada de t^p, onde p é qualquer número real, é[2] :


  \mathcal{L}\{t^p\} = \int\limits_0^\infty t^p e^{-st} d t,

usando a mudança de variável u = st, o integral transforma-se numa função gama:


  \mathcal{L}\{t^p\} = \int\limits_0^\infty (u/s)^p e^{-u} \frac{d u}{s}
  = s^{-(p + 1)} \int\limits_0^\infty u^p e^{-u} d u
  = \frac{\Gamma(p + 1)}{s^{p + 1}},

em particular, quando p for um número inteiro positivo n,


  \mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n + 1}}

e para n = 0


  \mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s}

Aplicando a propriedade de deslocamento em s, podemos calcular a transformada da função exponencial


  \color{Red}{\mathcal{L}\{e^{at}\} = \mathcal{L}\{1\}(s - a) = \frac{1}{s - a}}

e usando a propriedade da derivada da transformada


  \mathcal{L}\{t e^{at}\} = -{d \over ds}\bigg(\frac{1}{s - a}\bigg)
  = \frac{1}{(s - a)^2}

O mesmo resultado podia ter sido obtido a partir da transformada de t, usando a propriedade de deslocamento em s.[2]

As transformadas do seno e do co-seno podem ser calculadas substituindo a = i b na Equação e usando a fórmula de Euler


  \mathcal{L}\{e^{i bt}\} = \mathcal{L}{\cos(bt) + i \sin(bt)}
  = \frac{1}{s -i b} = \frac{s + i b}{s^2 + b^2}

comparando as partes reais e imaginárias, concluímos:


  \mathcal{L}\{\cos(bt)\} = \frac{s}{s^2 + b^2}


  \mathcal{L}\{\sin(bt)\} = \frac{b}{s^2 + b^2}

Resolução de equações diferenciais por meio da transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

As transformadas de Laplace das derivadas de uma função são todas proporcionais à transformada da função original, multiplicada por s^n, onde n/ é a ordem da derivada.

Esta propriedade permite transformar uma equação diferencial linear, com coeficientes constantes numa equação algébrica.[2] Por exemplo, consideremos a equação:


  3 y'' - 12 y' + 12 y = 4 \mathrm{e}^{2x} \sin(2x)

Transformando os dois lados da equação e usando a propriedade de linearidade, obtemos:


  3 \mathcal{L}\{y''\} - 12 \mathcal{L}\{y'\} + 12 \mathcal{L}\{y\} = 4 \mathcal{L}\{\mathrm{e}^{2x} \sin(2x)\}

cada um dos termos pode ser calculado usando as propriedades da transformada de Laplace:


\begin{align}
  &\mathcal{L}\{y\} = Y(s)\\
  &\mathcal{L}\{y'\} = s Y(s) - y(0)\\
  &\mathcal{L}\{y''\} = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
\end{align}


  \mathcal{L}\{e^{2x} \sin(2x)\} = \frac{2}{(s - 2)^2 + 4}

a transformada da equação diferencial é


   3 s^2 Y - 3 C_1 s - 3 C_2 -12 s Y + 12 C_1 + 12 Y = \frac{8}{(s - 2)^2 + 4}

onde C_1 e C_2 são duas constantes, iguais aos valores iniciais de y e y' em x = 0.[2]

Esta equação é uma equação algébrica que pode ser facilmente simplificada, conduzindo à função Y:


  Y = \frac{3 C_1 s + 3 C_2 - 3 C_1}{3 s^2 - 12 s + 12}
  + \frac{8}{[(s - 2)^2 + 4](3 s^2 - 12 s +12)}

A solução da EDO é a transformada inversa desta função. Usando a expansão em frações parciais:


  Y = \frac{A}{s - 2} + \frac{B}{(s - 2)^2}
  + \frac{2 C}{(s - 2)^2 + 4} + \frac{D(s - 2)}{(s - 2)^2 + 4}

onde A, B, C e D são constantes que podem ser calculadas comparando as duas últimas equações:


  A = C_1 \qquad B = C_2 - 2 C_1 + \frac{2}{3} \qquad C = - \frac{1}{3}
  \qquad D = 0

A transformada inversa de cada uma das frações parciais é facilmente identificada, usando as transformadas calculadas em seções anteriores.[2] A resposta final é:


  y(x) = [(1 - 2 x)y(0) + x y'(0) + \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3} \sin(2 x)]
  e^{2x}

Equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis[editar | editar código-fonte]

Quando os coeficientes de uma equação diferencial linear são polinômios, a transformada de Laplace pode ser calculada usando os seguintes resultados:


\begin{align}
  &\mathcal{L}\{t^n y\}  =  (-1)^n \frac{d^n Y}{d s^n}\\
  &\mathcal{L}\{t^n y'\}  =  (-1)^n \frac{d^n{s}}{d s^n}[sY - y(0)]
  = (-1)^n \frac{d^n(sY)}{d s^n}\\
  &\mathcal{L}\{t^n y''\}  =  (-1)^n \frac{d^n{s}}{d s^n}[s^2 Y - s y(0)]
\end{align}

A transformada da equação diferencial será outra equação diferencial para a função Y, de ordem igual ao maior grau dos coeficientes da equação original. Em alguns casos a equação diferencial obtida resulta ser mais fácil de resolver do que a equação original.

A transformada de Laplace Y e as suas derivadas deverão ser funções assimptoticamente decrescentes; esta propriedade das transformadas de Laplace impõe condições fronteira para a equação diferencial obtida.

Equações diferenciais lineares com entrada descontínua[editar | editar código-fonte]

O lado direito de uma equação linear não homogênea pode ser considerado como a entrada num sistema linear que verifica o princípio de sobreposição. Quando a entrada é descontínua, a saída é contínua pois a solução de uma equação diferencial é uma função derivável.

O método da transformada de Laplace é principalmente útil para resolver equações diferenciais com entrada descontínua, já que a transformada de uma função parceladamente contínua é uma função contínua.

Para representar funções descontínuas é conveniente definir a função degrau unitário (também conhecida por função de Heaviside):


  u(t - a) = \Bigg\{
  \begin{array}{ll}
    0 & t < a\\ 1 & t \geq a
  \end{array}

Se a < b, a função:


  u(t - a) - u(t - b)

é igual a 1 no intervalo a < t < b e 0 fora do intervalo. Assim, uma função definida em forma diferente em diferentes intervalos, por exemplo,


  f(t) = \Bigg\{
  \begin{array}{ll}
    f_1(t) & a \leq t < b\\ f_2(t) & c \leq t < d
  \end{array}

pode ser escrita na forma compacta:


  f(t) = [u(t - a) - u(t - b)] f_1(t) + [u(t - c) - u(t - d)] f_2(t)

facilitando o cálculo da sua transformada de Laplace.

Impulso unitário[editar | editar código-fonte]

Em física uma força impulsiva é uma força f(t) que atua durante um pequeno intervalo de tempo \Delta t. O aumento total da quantidade de movimento, devido à força f(t), é igual ao impulso:


  I = \int\limits_{t_0}^{t_0+\Delta t} f(t) d t

Uma função de impulso unitário é uma função f(t) que produz um impulso igual a 1:


  \int\limits_{t_0}^{t_0+\Delta t} f(t) d t = 1

Um exemplo é a função:


  \frac{u(t - t_0) - u(t - t_0 - \Delta t)}{\Delta t}

constante no intervalo t_0 \leq x < t_0+\Delta t.

Consideremos uma sucessão de impulsos unitários f_n com intervalos \Delta t_n decrescentes.

Por exemplo, as funções


  \color{Blue}{f_n = n [u(t - t_0) - u(t - t_0 - 1/n)]}

onde u é a função degrau unitário. Neste exemplo cada função f_n é igual a n no intervalo de t entre a e a + 1/n, e zero fora dele.

O intervalo de duração do impulso é \Delta t_n = 1/n e a função f_n é um impulso unitário. A medida que n aumenta, o gráfico da função f_n é cada vez mais alto, e dentro de um intervalo mais pequeno.

O limite de uma sucessão de impulsos unitários com intervalos decrescentes, aproximando-se para zero, é designado função delta de Dirac


  \delta (t - t_0) = \lim_{n\rightarrow \infty} f_n(t)

a função \delta é nula em qualquer ponto diferente de t_0, infinita em t_0 mas o seu impulso é igual a 1.

A função delta de Dirac não é realmente uma função mas sim um funcional (limite de funções), e daí que o seu integral possa ser diferente de zero enquanto que a função é nula em qualquer ponto diferente de t_0. Uma propriedade importante da função delta de Dirac é o teorema que se segue.

  • Se f(t) é uma função contínua em t_0,


    \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta (t - t_0) d t = f(t_0)

Para resolver equações diferenciais onde apareçam termos impulsivos, será útil conhecer a transformada de Laplace; para a calcular substituiremos a função delta pelo limite da sucessão de impulsos unitários representados na Equação).


  \mathcal{L}{\delta(t - t_0)} = \lim_{n\rightarrow\infty} \mathcal{L}{n[u(t - t_0) - u(t -
    t_0 - 1/n)]} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n}{s} \left[e^{-t_0s} -
    e^{-(t_0 + 1/n) s}\right]

e, portanto,


  \mathcal{L}{\delta(t - t_0)} = e^{-t_0s}

Transformada de Laplace Inversa[editar | editar código-fonte]

Se F(S)= \mathcal{L}^{-1}\{f(t)\} [8] então:

f(t)=\begin{cases}
\dfrac{1}{2i\pi} \displaystyle\int_{ \gamma - i\infty}^{ \gamma + i\infty} F(S)e^{St}dS  & \text{ se }  t\geq0\\
0 & \text{ se } t<0
\end{cases}

Na prática o cálculo da Transformada de Laplace Inversa se reduz ao cálculo dos resíduos de e^{St}F(S) considerando o teorema dos resíduos, nos pólos de F(S), em conjunto com o Lema de Jordan.

Consideremos:

 \mathcal{L}^{-1}\{F(S)\}= \dfrac{1}{2i\pi} \displaystyle\int_{ \gamma - i\infty}^{ \gamma + i\infty} F(S)e^{St}dS

Pelo teorema dos resíduos, temos:

 \oint F(S)e^{St}dS = 2i \pi \sum Res(F(S)e^{St})

 \displaystyle\int_{ \Gamma_{R}} F(S)e^{St}dS + \displaystyle\int_{ \Gamma_{-R}} F(S)e^{St}dS + \displaystyle\int_{ \gamma - i\infty}^{ \gamma + i\infty} F(S)e^{St}dS=2i \pi \sum Res(F(S)e^{St})= e^{at}

Para S em \Gamma_{R} ou S em \Gamma_{-R}, S=Re^{i\theta}

\lim_{R \to \infty} \left[\displaystyle\int_{ \Gamma_{R}} F(S)e^{St}dS + \displaystyle\int_{ \Gamma_{-R}} F(S)e^{St}dS\right]=0

Tomando \lim_{R \to \infty} temos:

 \mathcal{L}^{-1}\{F(S)\}= \sum Res(F(S)e^{St})

Basta analisar as singularidades de F(S)

Com isto, por exemplo, se considerarmos \frac{1}{S-a} temos apenas um pólo simples em S=a

 \mathcal{L}^{-1}\{F(S)\}= \sum Res\left(\frac{e^{St}}{S-a}\right)

 \mathcal{L}^{-1}\{F(S)\} = \lim_{S \to a}\left(\frac{(S-a)e^{St}}{S-a}\right)

Tabela de transformadas inversas de Laplace[editar | editar código-fonte]

Transformada de Laplace Função no domínio Tempo
1 \delta(t), impulso unitário
\frac{1}{s} u(t), escalão ou degrau unitário
\frac{1}{s^2} tu(t), rampa unitária
\frac{1}{(s+a)^n} \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}
\frac{1}{s(s+a)} \frac{1}{a}\left(1-e^{-at}\right)
\frac{1}{(s+a)(s+b)} \frac{1}{b-a}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)
\frac{s+c}{(s+a)^2+b^2} e^{-at}\left(\cos{(bt)}+\left(\frac{c-a}{b}\right)\sin{(bt)}\right)
\frac{s\sin\varphi +a\cos\varphi}{s^2+a^2} \sin{(at+\varphi)}
\frac{s\cos\varphi -a\sin\varphi}{s^2+a^2} \cos{(at+\varphi)}

Notes[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. E. Boyce, William; Diprima, Richard C.. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno (em português). oitava. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. ISBN 978-85-216-1499-9.
  2. a b c d e f g h i [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.
  3. K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence (2010), Mathematical methods for physics and engineering (3rd ed.), Cambridge University Press, p. 455, ISBN 978-0-521-86153-3 
  4. J.J.Distefano, A.R. Stubberud, I.J. Williams (1995), Feedback systems and control (2nd ed.), Schaum's outlines, p. 78, ISBN 0-07-017052-5 
  5. Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, p.183, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 - provides the case for real q.
  6. - Wolfram Mathword provides case for complex q
  7. G. Zill, Dennis. Equações Diferenciais com aplicações em modelagem (em português). 9ª. ed. Loyla Marymount University: Cengage Learning, 2011. ISBN 978-85-221-1059-9.
  8. Camargo, Rubens de Figueiredo. "Do teorema de Cauchy ao método de Cagniard"

Ligações externas[editar | editar código-fonte]