Circuito RLC

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Um circuito RLC (também conhecido como circuito ressonante ou circuito aceitador) é um circuito elétrico consistindo de um resistor (R), um indutor (L), e um capacitor (C), conectados em série ou em paralelo.

O circuito RLC é chamado de circuito de segunda ordem visto que qualquer tensão ou corrente nele pode ser descrita por uma equação diferencial de segunda ordem.

Parâmetros fundamentais[editar | editar código-fonte]

Existem dois parâmetros fundamentais que descrevem o comportamento dos circuitos RLC: a frequência de ressonância e o factor de carga. Para além disso, existem outros parâmetros que podem ser derivados destes dois primeiros.

Frequência de ressonância[editar | editar código-fonte]

A frequência natural ou de ressonância sem carga de um circuito RLC (em radianos por segundo) é:

\omega_o = {1 \over \sqrt{L C}}

Utilizando a unidade hertz, a frequência de ressonância fica:

f_o = {\omega_o \over 2 \pi} = {1 \over 2 \pi \sqrt{L C}}

A ressonância ocorre quando a impedância complexa ZLC do ressonador LC se torna zero:

Z_{LC} = Z_L + Z_C = 0

Ambas estas impedâncias são função de uma frequência angular s complexa:

Z_C = { 1 \over Cs }
Z_L =  Ls

Considerando estas duas expressões acima iguais e resolvendo para s, tem-se:

 s = \pm j \omega_o = \pm j {1 \over \sqrt{L C}}

onde a frequência de ressonância ωo é dada pela expressão acima.

Fator de carga[editar | editar código-fonte]

O fator de carga do circuito (em radianos por segundo) é:

\zeta wn = {R \over 2L}

Para aplicações em circuitos osciladores, é geralmente desejável que o factor de carga seja o menor possível ou, de igual forma, aumentar o factor de qualidade (Q) o máximo possível. Na prática, isto requer uma redução na resistência R no circuito para uma quantia tão baixa quanto fisicamente possível. Neste caso, o circuito RLC torna-se uma boa aproximação do circuito LC ideal, que não é realizável na prática (mesmo que a resistência seja removida do circuito, ainda existe uma resistência pequena, porém diferente de zero no fio e nas conexões entre os elementos do circuito que não pode ser eliminada totalmente).

Alternativamente, para aplicações em filtros passa-banda, o factor de carga é escolhido baseado na largura de banda desejada do filtro. Para uma maior largura de banda, um maior factor de carga é necessário, e para uma largura de banda menor, utiliza-se um menor factor de carga. Na prática, isto requer ajustar os valores relativos da resistência R e do indutor L no circuito.

Parâmetros derivados[editar | editar código-fonte]

Os parâmetros derivados incluem largura de banda, fator Q e frequência de ressonância com carga.

Largura de banda[editar | editar código-fonte]

O circuito RLC pode ser utilizado como um filtro passa-faixa ou rejeita-faixa, e a sua largura de banda (em radianos por segundo) é:

 \Delta \omega  =  2 \zeta   = { R \over L}

Alternativamente, a largura de banda em hertz é

\Delta f =   {  \Delta \omega \over 2 \pi  } =  { \zeta \over \pi }= { R \over 2 \pi L}

A largura de banda é a medida do comprimento da resposta em frequência das duas frequências com metade da potência do sinal de entrada. Como resultado, esta medida de largura de banda é muitas vezes chamada de "comprimento total a metade da potência". Visto que a potência é proporcional ao quadrado da tensão do circuito (ou corrente), a resposta em frequência irá cair a  { 1 \over \sqrt{2} } nas frequências de metade da potência.

Qualidade ou factor Q[editar | editar código-fonte]

A qualidade do circuito, ou factor Q (ver Equalizador), é calculada como a razão entre a frequência de ressonância \omega_o e a largura de banda \Delta \omega (em radianos por segundo):

Q =   {\omega_o \over \Delta \omega } = {\omega_o \over 2\zeta } = {L \over R \sqrt{LC}} = {1 \over R} \sqrt{L \over C}

Ou, em hertz:

Q = {f_o \over \Delta f} = {2 \pi f_o L \over R} = {1 \over \sqrt{R^2 C / L}} =  {1 \over R} \sqrt{L \over C}

Q é uma unidade adimensional.

Ressonância com carga[editar | editar código-fonte]

A frequência de ressonância com carga deriva da frequência de ressonância natural e do factor de carga. Se o circuito estiver com subcarga, verifica-se que

 \zeta \ < \ \omega_o

então pode-se definir a ressonância com carga como

 \omega_d = \sqrt{ \omega_o^2 - \zeta^2 }

Em um circuito oscilador

 \zeta \ \ << \ \ \omega_o .

E, como resultado

 \omega_d \ \ = \ \ \omega_o \ \ (approx).


Configurações[editar | editar código-fonte]

Todo circuito RLC consiste de dois componentes: uma fonte de alimentação e um ressonador. Existem dois tipos de fontes de alimentação, a fonte de Thévenin e a fonte de Norton. Da mesma forma, existem dois tipos de ressonadores, os LC série e o LC paralelo. Como resultado, existem quatro configurações de circuitos RLC:

  • LC série com fonte de alimentação do tipo Thévenin
  • LC série com fonte de alimentação do tipo Norton
  • LC paralelo com fonte de alimentação do tipo Thévenin
  • LC paralelo com fonte de alimentação do tipo Norton

Análise do circuito[editar | editar código-fonte]

RLC série com fonte da alimentação do tipo Thévenin[editar | editar código-fonte]

Neste circuito, os três componentes estão todos em série com a fonte de tensão.

RLC series circuit

Notações do circuito RLC série:

v - a tensão da fonte de alimentação (medida em volts V)
i - a corrente do circuito (medida em ampères A)
R - a resistência do resistor (medida em ohms = V/A);
L - a indutância do indutor (medida em henrys = H = Wb/A = V·s/A)
C - a capacitância do capacitor (medida em farads = F = C/V = A·s/V)

Dados os parâmetros v, R, L, e C, a solução para a corrente (I) utilizando a Lei da Tensão de Kirchoff é:


{v_R+v_L+v_C=v} \,

Para uma tensão variável com o tempo v(t), isto se torna


Ri(t) + L { {di} \over {dt}} + {1 \over C} \int_{-\infty}^{t} i(\tau)\, d\tau = v(t)

Rearranjando a equação [dividindo por L e derivando ambos os termos] tem-se a seguinte equação diferencial de segunda ordem:


{{d^2 i} \over {dt^2}} +{R \over L} {{di} \over {dt}} + {1 \over {LC}} i(t) = {1 \over L} {{dv} \over {dt}}

Definem-se agora dois parâmetros chave:

 \zeta*wn = {R \over 2L}
e
\omega_0 = { 1 \over \sqrt{LC}}

sendo ambos medidos em radianos por segundo.

Substituindo estes parâmetros na equação diferencial, obtém-se:


{{d^2 i} \over {dt^2}} + 2 \zeta {{di} \over {dt}} + \omega_0^2 i(t) = {1 \over L} {{dv} \over {dt}}

A solução para Resposta de Entrada Zero (ZIR)[editar | editar código-fonte]

Colocando a entrada (fonte de tensão) em zero, obtém-se:


{{d^2 i} \over {dt^2}} + 2 \zeta {{di} \over {dt}} + \omega_o^2  i(t) = 0

com as condições iniciais para a corrente do indutor, IL(0), e a tensão do capacitor VC(0). De modo a resolver a equação propriamente, as condições iniciais necessárias são I(0) e I'(0).

O primeiro já foi feito, visto que a corrente na total é igual à corrente no indutor, portanto


i(0)=i_L(0) \,

A segunda é obtida aplicando a Lei da Tensão de Kirchoff novamente:


v_R(0)+v_L(0)+v_C(0)=0 \,

\Rightarrow i(0)R+i'(0)L+v_C(0)=0 \,

\Rightarrow i'(0)={1 \over L}\left[-v_C(0)-I(0)R \right]

Agora tem-se uma equação diferencial de segunda ordem homogênea com duas condições iniciais. Substituíndo os parâmetros ζ e ω0, tem-se


i''+2\zeta i' + \omega_0^2 i = 0

Convertendo a forma da equação para seu polinomial característico

\lambda^2 + 2 \zeta \lambda + \omega_0^2 = 0

Utilizando a fórmula quadrática, acham-se as raízes como

 \lambda = -\zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - \omega_0^2}

Dependendo dos valores de α e ω0, existem três casos possíveis:

Sobrecarga/Regime sobreamortecido (aperiódico)[editar | editar código-fonte]
Respostas do circuito RLC série com superamortecido

\zeta>\omega_0 \Rightarrow RC>4 { L \over R} \,

Neste caso, as soluções do polinomial característico são dois números reais negativos. Isto é chamado de "sobrecarga".

Duas raízes reais negativas, as soluções são:


I(t)=A e^{\lambda_1 t} + B e^{\lambda_2 t}


Carga crítica/ Regime amortecido crítico (aperiódico limite)[editar | editar código-fonte]
Circuito RLC série com Amortecimento Crítico

\zeta=\omega_0 \Rightarrow RC=4 { L \over R } \,

Neste caso, as soluções da polinomial característica são dois números reais negativos idênticos. Isto é chamado de "carga crítica".

As duas raízes são idênticas ( \lambda_1=\lambda_2=\lambda ). As soluções são:

I(t)=(A+Bt) e^{\lambda t}
para constantes arbitrárias A e B


Subcarga/ Regime subamortecido (periódico amortecido; pseudo-periódico)[editar | editar código-fonte]

\zeta<\omega_0 \Rightarrow RC<4 { L \over R } \,

Neste caso. as soluções do polinomial característico são um conjugado complexo e possuem uma parte real negativa. Isto é chamado de "subcarga" e resulta em oscilações no circuito.

As soluções consistem de duas raízes conjugadas

\lambda_1 = -\zeta + i\omega_c

e

\lambda_2 = -\zeta - i\omega_c

onde

\omega_c = \sqrt{\omega_o^2 - \zeta^2}

As soluções são:

i(t) = Ae^{-\zeta + i \omega_c} + Be^{-\zeta - i \omega_c}
para constantes arbitrárias A e B.

Utilizando a fórmula de Euler [e^{ix} = cos\left ( x \right ) + i sen\left ( x \right ) ], pode-se simplificar a solução para

i(t)=e^{-\zeta t} \left[ C \sin(\omega_c t) + D \cos(\omega_c t) \right]
para constantes arbitrárias C e D.

Estas soluções são caracterizadas por uma resposta sinusoidal com decaimento exponencial. O tempo necessário para que as oscilações sejam eliminadas depende da qualidade do circuito, ou fator Q. Quanto maior a qualidade, mais tempo é necessário para que as oscilações decaiam.

Solução para Resposta de Estado Zero (ZSR)[editar | editar código-fonte]

Com as condições iniciais configuradas para zero e utilizando a seguinte equação:


\left\{\begin{matrix} {{d^2 I} \over {dt^2}} +{R \over L} {{dI} \over {dt}} + {1 \over {LC}} I(t) = {1 \over L}{{dV} \over {dt}} \\  \\ I(0^{-})=I'(0^{-})=0 \end{matrix}\right.
{{d^2 i} \over {dt^2}} +{2 \zeta } {{di} \over {dt}} + {\omega_o^2} i(t) = {1 \over L}{{dv} \over {dt}}

Existem duas aproximações que podem ser utilizadas para encontrar o ZSR:

  1. A transformada de Laplace
  2. A Integral de convolução.
Transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

Primeiramente realiza-se a transformada de Laplace da equação diferencial de segunda ordem:

 (s^2 + 2\zeta s + \omega_o^2) I(s) = {s \over L } V(s)
onde V(s) é a transformada de Laplace do sinal de entrada:
V(s) = \mathcal{L} \left\{ v(t) \right\}

Então resolve-se para a admitância complexa Y(s) (em siemens):

 Y(s) = { I(s) \over V(s) }  = { s \over L (s^2 + 2\zeta s + \omega_o^2)  }

Pode-se utilizar a admitância Y(s) e a transformada de Laplace da tensão de entrada V(s) para encontrar a corrente elétrica complexa I(s):

  I(s) = Y(s) \times V(s)

Finalmente, pode-se encontrar a corrente elétrica no domínio do tempo através da transformada de Laplace inversa:

i(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ I(s) \right\}

Exemplo:

Suponha v(t) = Au(t)

onde u(t) é a função de passo Heaviside.

Então

 V(s) = { A \over s }
 I(s) = { A \over L (s^2 + 2\zeta s + \omega_o^2)  }
Integral de convolução[editar | editar código-fonte]

Uma solução separada para cada função possível para V(t) é impossível. No entanto, existe um método para encontrar uma fórmula para I(t) utilizando a convolução. Para fazer isto, é necessário uma solução para uma entrada básica, a função delta de Dirac.

Para encontrar a solução mais facilmente começa-se resolvendo-a para a função de passo Heaviside e então utilizando o facto de que o nosso circuito é um sistema linear, a sua derivada será a solução para a função delta.

A equação então será, para t>0:


\left\{\begin{matrix} {{d^2 I_u} \over {dt^2}} +{R \over L} {{dI_u} \over {dt}} + {1 \over {LC}} I_u(t) = 0 \\ I(0^{+})=0 \qquad I'(0^{+})={1 \over L} \end{matrix}\right.

Assumindo que λ1 e λ2 são raízes de


P(\lambda)= \lambda^2+2 \zeta \lambda + \omega_o^2

então tal como na solução para ZIR, obtêm-se 3 casos diferentes:

Sobrecarga[editar | editar código-fonte]

Neste caso temos duas raízes reais negativas, a solução é:


I_u(t)={1 \over {L(\lambda_1-\lambda_2)}} \left[ e^{\lambda_1 t}-e^{\lambda_2 t} \right]

\Rightarrow I_{\delta}(t)={1 \over {L(\lambda_1-\lambda_2)}} \left[ \lambda_1 e^{\lambda_1 t}-\lambda_2 e^{\lambda_2 t} \right]
Carga crítica[editar | editar código-fonte]

Nesta caso, as raízes são idênticas ( \lambda_1=\lambda_2=\lambda ), a solução é:


I_u(t)={1 \over L} t e^{\lambda t}

\Rightarrow I_{\delta}(t)={1 \over L} (\lambda t+1) e^{\lambda t}
Subcarga[editar | editar código-fonte]

Neste caso existem duas raízes complexas conjugadas (\lambda_1 = \bar \lambda_2 = \zeta + i\omega_c), a solução é:


I_u(t)={1 \over {\omega_c L}} e^{\zeta t} \sin(\omega_c t)

\Rightarrow I_{\delta}(t)={1 \over {\omega_c L}} e^{\zeta t} \left[ \zeta \sin(\omega_c t) + \omega_c \cos(\omega_c t) \right]

Domínio da frequência[editar | editar código-fonte]

O circuito RLC série pode ser analisado no domínio da frequência utilizando as relações de impedância complexa. Se a fonte de tensão acima produz uma forma de onda exponencial complexa com a amplitude V(s) e frequência angular  s = \sigma + i \omega, a Lei de Kirchoff para Tensão pode ser aplicada:

V(s) = I(s) \left ( R + Ls + \frac{1}{Cs} \right )

onde I(s) é a corrente complexa através de todos os componentes. Resolvendo para I tem-se:

I(s) = \frac{1}{ R + Ls + \frac{1}{Cs} } V(s)

E rearranjando, obtém-se

I(s) = \frac{s}{ L \left ( s^2 + {R \over L}s + \frac{1}{LC} \right ) } V(s)
Admitância complexa[editar | editar código-fonte]

A seguir, a resolução para a admitância complexa Y(s):

 Y(s) = { I(s) \over V(s) } = \frac{s}{ L \left ( s^2 + {R \over L}s + \frac{1}{LC} \right ) }

Então, simplifica-se utilizando os parâmetros α e ωo

 Y(s) = { I(s) \over V(s) } = \frac{s}{ L \left ( s^2 + 2 \alpha s + \omega_o^2 \right ) }

Note que esta expressão para Y(s) é a mesma encontrada para a Resposta de Estado Zero.

Pólos e Zeros[editar | editar código-fonte]

Os zeros de Y(s) são os valores de s tais que Y(s) = 0:

 s = 0 e  s = \infty

Os pólos de Y(s) são os valores de s tais que  Y(s) = \infty:

 s = - \zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - \omega_o^2}

Note que os pólos de Y(s) são idênticos às raízes \lambda_1 e \lambda_2 do polinómio característico.

Estado sinusoidal constante[editar | editar código-fonte]

Supondo  s = i \omega , obtendo a magnitude da equação acima obtém-se:

 | Y(s=i \omega) | = \frac{1}{\sqrt{ R^2 + \left ( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right )^2 }}

A seguir, encontra-se a magnitude da corrente com uma função de ω

 | I( i \omega  ) |  =  | Y(i \omega) | \times | V(i \omega) |

Se os valores escolhidos fossem R = 1 ohm, C = 1 farad, L = 1 henry, e V = 1 volt, então o gráfico da magnitude da corrente I (em amperes) como uma função de ω (em radianos por segundo) seria:

Análise do estado sinusoidal constante

Note que existe um pico em I_{mag}(\omega) = 1. Este é conhecido como a frequência de ressonância. Resolvendo para este valor, encontra-se:

\omega_o = \frac{1}{\sqrt{L C}}

Circuito RLC paralelo[editar | editar código-fonte]

Um modo de recuperar as propriedades do circuito RLC é através do uso da não-dimensionalização.

RLC Parallel circuit

Notações do circuito RLC paralelo:

V - a tensão da fonte de alimentação (medida em volts V)
I - a corrente do no circuito (medida em ampères A)
R - a resistência do resistor (medida em ohms = V/A);
L - a indutância do indutor (medida em henrys = H = Wb/A = V·s/A)
C - a capacitância do capacitor (medida em farads = F = C/V = A·s/V)

Para uma configuração paralelo dos mesmos componentes, aonde Φ é o fluxo magnético no sistema, tem-se abaixo:

 C \frac{d^2 \Phi}{dt^2} + \frac{1}{R} \frac{d \Phi}{dt} + \frac{1}{L} \Phi = I_0 \cos(\omega t) \Rightarrow \frac{d^2 \chi}{d \tau^2} + 2 \zeta \frac{d \chi}{d\tau} + \chi = \cos(\Omega \tau)

com substituições obtém-se:

\Phi = \chi x_c, \ t = \tau t_c, \ x_c = L I_0, \ t_c = \sqrt{LC}, \ 2 \zeta = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}, \ \Omega = \omega  t_c .

A primeira variável corresponde ao fluxo magnético máximo armazenado no circuito, e a segunda variável corresponde ao período das oscilações ressonantes no circuito.

Similaridades e diferenças entre os circuitos em série e em paralelo[editar | editar código-fonte]

As expressões para a largura de banda nas configurações em série e em paralelo são inversas. Isto é particularmente útil para determinar se uma configuração em série ou em paralelo deve ser utilizada no projecto de um circuito particular. Entretanto, na análise de circuito, geralmente, a recíproca das duas variáveis posteriores é utilizada para caracterizar o sistema. Elas são conhecidas como a frequência de ressonância e o factor Q, respectivamente.

Aplicações dos circuitos ajustados[editar | editar código-fonte]

Existem muitas aplicações para os circuitos ajustados, especialmente nos sistemas de rádio e comunicações. Eles podem ser utilizados para selecionar uma certa faixa de frequências de um espectro total de ondas de rádio.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]