Transformada de Laplace bilateral

Em matemática, a transformada de Laplace bilateral é uma transformada integral bastante relacionada com a transformada de Fourier, a transformada de Mellin e a transformada de Laplace. Se ƒ(t) é uma função de uma variável real t definida para todos os números reais, a transformada de Laplace bilateral é definida pela integral

$\mathcal{B} \left\{f(t)\right\} = F(s) = \int_{-\infty}^\infty e^{-st} f(t) \,dt.$

Essa integral é frequentemente uma integral imprópria, que converge se e somente se cada uma das integrais

$\int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt,\quad \int_{-\infty}^0 e^{-st} f(t) \, dt$

existir. Alguns autores usam a notação alternativa

$\mathcal{T}\left\{f(t)\right\} = s\mathcal{B}\left\{f\right\} = sF(s) = s \int_{-\infty}^\infty e^{-st} f(t) \, dt.$

Em aplicações de física e engenharia, a função original geralmente tem como variável independente o tempo (t), e $f(t)$ representa um sinal que varia no tempo. A função transformada tem como variável independente a frequência real (ω) ou a frequência complexa (s), e $F(s)$ ou $F($ω$)$ são os componentes desse sinal em cada frequência.

Em aplicações de estatística, a função original geralmente é a densidade de probabilidade de uma distribuição, e a função transformada, os momentos dessa distribuição.

Relação com outras transformadas integrais

Sendo u(t) a função degrau de Heaviside, que é igual a zero quando t é menor que zero, $1/2$ quando t é igual a zero, e 1 quando t é maior que zero, a transformada de Laplace $\mathcal{L}$ pode ser definida a partir da a transformada de Laplace bilateral por

$\mathcal{L}\left\{f(t)\right\} = \mathcal{B}\left\{f(t) u(t)\right\}.$

Por outro lado, também temos que

$\left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{L} f(t)\right\}(s) + \left\{\mathcal{L} f(-t)\right\}(-s)$

Assim, cada uma das versões da transformada de Laplace pode ser definida a partir da outra.

A transformada de Mellin pode ser definida em termos da transformada de Laplace bilateral por

$\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s)$

e, inversamente, pode-se obter a transformada de Laplace bilateral a partir da transformada de Mellin por meio da expressão

$\left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x) \right\}(s).$

A transformada de Fourier também pode ser definida a partir da transformada de Laplace bilateral, por meio da expressão

$\mathcal{F}\left\{f(t)\right\} = F(s=i\omega) = F(\omega).$

Note-se que existem definições alternativas da transformada de Fourier. Em particular, a forma

$\left\{\mathcal{F} f\right\}= F(s=i\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left\{\mathcal{B} f\right\}(s)$

é frequentemente usada.

Também é possível obter a transformada de Laplace bilateral a partir da transformada de Fourier, através da expressão

$\left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{F} f\right\}(-is).$

Note-se que transformada de Fourier é normalmente definida de forma a existir para valores reais. A definição acima define $F(s)$ em uma faixa $a < \Im(s) < b$ que pode não incluir o eixo real.

Ver também

• Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier

Referências

• LePage, Wilbur R., Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers, Dover Publications, 1980
• van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd edition, 1987