Transformada de Laplace bilateral
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Em matemática, a transformada de Laplace bilateral é uma transformada integral bastante relacionada com a transformada de Fourier, a transformada de Mellin e a transformada de Laplace. Se ƒ(t) é uma função de uma variável real t definida para todos os números reais, a transformada de Laplace bilateral é definida pela integral
Essa integral é frequentemente uma integral imprópria, que converge se e somente se cada uma das integrais
existir. Alguns autores usam a notação alternativa
Em aplicações de física e engenharia, a função original geralmente tem como variável independente o tempo (t), e representa um sinal que varia no tempo. A função transformada tem como variável independente a frequência real (ω) ou a frequência complexa (s), e ou ω são os componentes desse sinal em cada frequência.
Em aplicações de estatística, a função original geralmente é a densidade de probabilidade de uma distribuição, e a função transformada, os momentos dessa distribuição.
Relação com outras transformadas integrais[editar | editar código-fonte]
Sendo u(t) a função degrau de Heaviside, que é igual a zero quando t é menor que zero, quando t é igual a zero, e 1 quando t é maior que zero, a transformada de Laplace pode ser definida a partir da transformada de Laplace bilateral por
Por outro lado, também temos que
Assim, cada uma das versões da transformada de Laplace pode ser definida a partir da outra.
A transformada de Mellin pode ser definida em termos da transformada de Laplace bilateral por
e, inversamente, pode-se obter a transformada de Laplace bilateral a partir da transformada de Mellin por meio da expressão
A transformada de Fourier também pode ser definida a partir da transformada de Laplace bilateral, por meio da expressão
Note-se que existem definições alternativas da transformada de Fourier. Em particular, a forma
é frequentemente usada.
Também é possível obter a transformada de Laplace bilateral a partir da transformada de Fourier, através da expressão
Note-se que transformada de Fourier é normalmente definida de forma a existir para valores reais. A definição acima define em uma faixa que pode não incluir o eixo real.
Propriedades[editar | editar código-fonte]
Para quaisquer duas funções para as quais a transformada bilateral de Laplace existam, se e para todo valor de quase sempre.
Dominio de tempo | Domínio unilateral-'s' | Domínio bilateral-'s' | |
---|---|---|---|
Derivada | |||
Derivada de segunda ordem |
Região de convergência[editar | editar código-fonte]
Os requisitos para convergência da transformada bilateral são mais difíceis do que para transformações unilaterais. A região de convergência normalmente será menor.
Se f é uma função localmente integrável (ou mais geralmente uma medida local de Borel de variação limitada), então a transformada de Laplace F(s) de f converge desde que o limite
exista. A transformada de Laplace converge absolutamente se a integral
existe (como uma integral de Labesgue adequada). A transformada de Laplace é geralmente entendida como condicionalmente convergente.
O conjunto de valores para os quais F(s) converge absolutamente é da forma Re(s) > a ou Re(s) ≥ a, onde ''a'' é uma constante real estendida, −∞ ≤ a ≤ ∞. (Isso segue do teorema da convergência dominada.) A constante ''a'' é conhecida como a abcissa da convergência absoluta e depende do comportamento de crescimento de f(t). Analogamente, a transformada bilateral converge absolutamente em uma faixa da forma a < Re(s) < b, e possivelmente incluindo as linhas Re(s) = a ou Re(s) = b. O subconjunto de valores de s para os quais a transformada de Laplace converge absolutamente é chamado de região de convergência absoluta ou domínio de convergência absoluta. No caso bilateral, às vezes é chamada de faixa de convergência absoluta. A transformada de Laplace é analítica na região de convergência absoluta.[1]
Da mesma forma, o conjunto de valores para os quais F(s) converge (condicionalmente ou absolutamente) é conhecido como região de convergência condicional, ou simplesmente região de convergência. Se a transformada de Laplace converge (condicionalmente) em , então ela converge automaticamente para todos os s com Re(s) > Re (). Portanto, a região de convergência é um meio plano da forma Re(s) > a, possivelmente incluindo alguns pontos da linha limite Re(s) = a. Na região de convergência Re(s) > Re(), a transformada de Laplace de f pode ser expressa por integração por partes como a integral
, .
Ou seja, na região de convergência F(s) pode ser efetivamente expressa como a transformada de Laplace absolutamente convergente de alguma outra função. Em particular, é analítica.
Existem vários teoremas de Paley-Wiener relativos à relação entre as propriedades de decaimento de f e as propriedades da transformada de Laplace na região de convergência.
Em aplicações de engenharia, uma função correspondente a um sistema linear invariante no tempo é estável se cada entrada limitada produz uma saída limitada.
Causalidade[editar | editar código-fonte]
As transformações bilaterais não respeitam a causalidade. Elas fazem sentido quando aplicados sobre funções genéricas, mas quando se trabalha com funções de tempo (sinais), as transformações unilaterais são preferidas.
Ver também[editar | editar código-fonte]
Referências[editar | editar código-fonte]
- LePage, Wilbur R., Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers, Dover Publications, 1980
- van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd edition, 1987
- Widder, David Vernon (1941), The Laplace Transform, Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press, MR 0005923.
- ↑ Laplace Transform (PMS-6) (em inglês). [S.l.: s.n.] 8 de dezembro de 2015