Função mensurável

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Question book.svg
Esta página ou se(c)ção não cita fontes fiáveis e independentes (desde janeiro de 2010). Por favor, adicione referências e insira-as no texto ou no rodapé, conforme o livro de estilo. Conteúdo sem fontes poderá ser removido.

Em matemática, sobretudo na teoria da medida, funções mensuráveis são aquelas que apresentam comportamento suficientemente simples para que se possa desenvolver uma teoria de integração.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja f:X\to Y\, uma função, onde (X,\mathfrak{M})\, e (Y,\mathfrak{N})\, são espaços mensuráveis. Uma função é dita \mathfrak{N}-\mathfrak{M}\,-mensurável se:

f^{-1}(E)\in \mathfrak{M},~~ \forall E\in\mathfrak{N}\,

Função Borel mensurável[editar | editar código-fonte]

Um caso particular importante da definição acima acontece quando tomamos \mathfrak{N}\, como sendo a álgebra de Borel, neste caso (se a definirmos como a menor sigma-álgebra contendo a topologia), a seguinte definição é equivalente:

Seja f:X\to Y\, uma função, onde (X,\mathfrak{M})\, é um espaço mensurável e (Y,\tau)\, é um espaço topológico. Uma função é dita Borel-\mathfrak{M}\,-mensurável se:

f^{-1}(O)\in \mathfrak{M},~~ \forall O\in\tau\,

Função Borel-Lebesgue mensurável[editar | editar código-fonte]

Uma função é dita Borel-Lebesgue mensurável quando \mathfrak{M}=\mathfrak{L}\,, a σ-álgebra de Lebesgue e \mathfrak{N}=\mathfrak{B}\,, a álgebra de Borel.

Muitas vezes, uma função Borel-Lebesgue mensurável é dita apenas Lebesgue-mensurável ou simplesmente mensurável.

Função reais Borel-Lebesgue mensurável[editar | editar código-fonte]

É costume representar uma função f:D\to\mathbb{R}^n\, pelas suas componente no contra-domínio:

f(x)=\left(f^1(x),f^2(x),\ldots,f^n(x)\right)\,

Pode-se mostrar que f:D\to\mathbb{R}^n\, é Borel-Lebesgue-mensurável se e somente se cada uma das f^k:D\to\mathbb{R}\, é Borel-Lebesgue-mensurável.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Sejam f:D\to\mathbb{R}^n\, e g:D\to\mathbb{R}^n\, funções Borel-Lebesgue-mensuráveis onde D\, é um conjunto mensurável de \mathbb{R}^m\, e \alpha\, e \beta\, reais então:

  • \alpha f(x) + \beta g(x)\, é mensurável
  • f(x) g(x):=\left(f^1(x)g^1(x),f^2(x)g^2(x),\ldots f^n(x)g^n(x)\right)\, é mensurável
  • f(x+\lambda)\, é mensurável para todo \lambda \in\mathbb{R}^m
  • Se h:\to D\mathbb{R}^n\, e \mu\left(\left\{f(x)=h(x)\right\}\right)\, então h\, é mensurável.
  • Se f_n:D\mathbb{R}\, são mensuráveis e convergem quase-sempre então o limite é uma função mensurável.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros
O wikilivro Medida e integração tem uma página intitulada Mensurabilidade