Função mensurável

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Em matemática, sobretudo na teoria da medida, funções mensuráveis são aquelas que apresentam comportamento suficientemente simples para que se possa desenvolver uma teoria de integração.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja f:X\to Y\, uma função, onde (X,\mathfrak{M})\, e (Y,\mathfrak{N})\, são espaços mensuráveis. Uma função é dita \mathfrak{N}-\mathfrak{M}\,-mensurável se:

f^{-1}(E)\in \mathfrak{M},~~ \forall E\in\mathfrak{N}\,

Função Borel mensurável[editar | editar código-fonte]

Um caso particular importante da definição acima acontece quando tomamos \mathfrak{N}\, como sendo a álgebra de Borel, neste caso (se a definirmos como a menor sigma-álgebra contendo a topologia), a seguinte definição é equivalente:

Seja f:X\to Y\, uma função, onde (X,\mathfrak{M})\, é um espaço mensurável e (Y,\tau)\, é um espaço topológico. Uma função é dita Borel-\mathfrak{M}\,-mensurável se:

f^{-1}(O)\in \mathfrak{M},~~ \forall O\in\tau\,

Função Borel-Lebesgue mensurável[editar | editar código-fonte]

Uma função é dita Borel-Lebesgue mensurável quando \mathfrak{M}=\mathfrak{L}\,, a σ-álgebra de Lebesgue e \mathfrak{N}=\mathfrak{B}\,, a álgebra de Borel.

Muitas vezes, uma função Borel-Lebesgue mensurável é dita apenas Lebesgue-mensurável ou simplesmente mensurável.

Função reais Borel-Lebesgue mensurável[editar | editar código-fonte]

É costume representar uma função f:D\to\mathbb{R}^n\, pelas suas componente no contra-domínio:

f(x)=\left(f^1(x),f^2(x),\ldots,f^n(x)\right)\,

Pode-se mostrar que f:D\to\mathbb{R}^n\, é Borel-Lebesgue-mensurável se e somente se cada uma das f^k:D\to\mathbb{R}\, é Borel-Lebesgue-mensurável.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Sejam f:D\to\mathbb{R}^n\, e g:D\to\mathbb{R}^n\, funções Borel-Lebesgue-mensuráveis onde D\, é um conjunto mensurável de \mathbb{R}^m\, e \alpha\, e \beta\, reais então:

  • \alpha f(x) + \beta g(x)\, é mensurável
  • f(x) g(x):=\left(f^1(x)g^1(x),f^2(x)g^2(x),\ldots f^n(x)g^n(x)\right)\, é mensurável
  • f(x+\lambda)\, é mensurável para todo \lambda \in\mathbb{R}^m
  • Se h:\to D\mathbb{R}^n\, e \mu\left(\left\{f(x)=h(x)\right\}\right)\, então h\, é mensurável.
  • Se f_n:D\mathbb{R}\, são mensuráveis e convergem quase-sempre então o limite é uma função mensurável.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros
O wikilivro Medida e integração tem uma página intitulada Mensurabilidade