Função mensurável

Em matemática, sobretudo na teoria da medida, funções mensuráveis são aquelas que apresentam comportamento suficientemente simples para que se possa desenvolver uma teoria de integração.

Definição

Seja $f:X\to Y\,$ uma função, onde $(X,\mathfrak{M})\,$ e $(Y,\mathfrak{N})\,$ são espaços mensuráveis. Uma função é dita $\mathfrak{N}-\mathfrak{M}\,$-mensurável se:

$f^{-1}(E)\in \mathfrak{M},~~ \forall E\in\mathfrak{N}\,$

Função Borel mensurável

Um caso particular importante da definição acima acontece quando tomamos $\mathfrak{N}\,$ como sendo a álgebra de Borel, neste caso (se a definirmos como a menor sigma-álgebra contendo a topologia), a seguinte definição é equivalente:

Seja $f:X\to Y\,$ uma função, onde $(X,\mathfrak{M})\,$ é um espaço mensurável e $(Y,\tau)\,$ é um espaço topológico. Uma função é dita Borel-$\mathfrak{M}\,$-mensurável se:

$f^{-1}(O)\in \mathfrak{M},~~ \forall O\in\tau\,$

Função Borel-Lebesgue mensurável

Uma função é dita Borel-Lebesgue mensurável quando $\mathfrak{M}=\mathfrak{L}\,$, a σ-álgebra de Lebesgue e $\mathfrak{N}=\mathfrak{B}\,$, a álgebra de Borel.

Muitas vezes, uma função Borel-Lebesgue mensurável é dita apenas Lebesgue-mensurável ou simplesmente mensurável.

Função reais Borel-Lebesgue mensurável

É costume representar uma função $f:D\to\mathbb{R}^n\,$ pelas suas componente no contra-domínio:

$f(x)=\left(f^1(x),f^2(x),\ldots,f^n(x)\right)\,$

Pode-se mostrar que $f:D\to\mathbb{R}^n\,$ é Borel-Lebesgue-mensurável se e somente se cada uma das $f^k:D\to\mathbb{R}\,$ é Borel-Lebesgue-mensurável.

Propriedades

Sejam $f:D\to\mathbb{R}^n\,$ e $g:D\to\mathbb{R}^n\,$ funções Borel-Lebesgue-mensuráveis onde $D\,$ é um conjunto mensurável de $\mathbb{R}^m\,$ e $\alpha\,$ e $\beta\,$ reais então:

• $\alpha f(x) + \beta g(x)\,$ é mensurável
• $f(x) g(x):=\left(f^1(x)g^1(x),f^2(x)g^2(x),\ldots f^n(x)g^n(x)\right)\,$ é mensurável
• $f(x+\lambda)\,$ é mensurável para todo $\lambda \in\mathbb{R}^m$
• Se $h:\to D\mathbb{R}^n\,$ e $\mu\left(\left\{f(x)=h(x)\right\}\right)\,$ então $h\,$ é mensurável.
• Se $f_n:D\mathbb{R}\,$ são mensuráveis e convergem quase-sempre então o limite é uma função mensurável.