Índice (matemática)

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Esta curva tem índice dois, em torno do ponto p.
O índice desta curva ao redor de p é 2, pois o objeto que percorre a curva vermelha efetuará duas rotações completas, no sentido anti-horário, em torno da pessoa situada na origem.

Em matemática, índice de uma curva plana, fechada e parametrizada (lacete) γ em torno de um ponto p situado fora da curva, é um número inteiro que representa o total de voltas que a curva descreve ao redor de p, no sentido direto (anti-horário). Representa-se por :

\operatorname{ind}(p,\gamma)

As voltas realizadas em sentido anti-horário contam como positivas, e as realizadas em sentido horário têm valor negativo. Assim, por exemplo, se um objeto percorre a curva em torno de p, descrevendo quatro voltas em sentido anti-horário e uma em sentido horário, o índice da curva ao redor do ponto p é três. O índice depende portanto da orientação da curva, e muda de sinal ao mudar de orientação.

As curvas mostradas a seguir têm índices que variam de −2 a 3:

\cdots   Winding Number -2.svg     Winding Number -1.svg     Winding Number 0.svg  
−2 −1 0
  Winding Number 1.svg     Winding Number 2.svg     Winding Number 3.svg   \cdots
1 2 3

O índice é um objeto de estudo fundamental em topologia algébrica e desempenha um importante papel em cálculo vetorial, análise complexa, topologia geométrica, geometria diferencial e física.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Uma curva no plano xy pode ser definida pelas seguintes equações paramétricas:

x = x(t)\quad\text{e}\quad y=y(t)\qquad\text{para  } 0 \leq t \leq 1.

Se o parâmetro t corresponde a tempo, então essas equações especificam o movimento de um objeto no plano entre t = 0 e t = 1. A trajetória desse movimento é uma curva, sendo as funções x(t) and y(t) contínuas. Essa curva é fechada se a posição do objeto é a mesma em t = 0 e em t = 1.

Pode-se definir o índice dessa curva usando o sistema de coordenadas polares. Assumindo que a curva não passa pela origem, pode-se reescrever as equações paramétricas em forma polar, conforme segue:

r = r(t)\quad\text{e}\quad \theta = \theta(t)\qquad\text{para  }0 \leq t \leq 1.,

sendo r e θ as coordenadas polares do ponto p do plano euclidiano \mathbb{R}^2 cuja origem é denotada por O, definidas como:

  • r: a distância entre p e a origem O
  • θ: o ângulo formado entre o segmento de reta que une p a O e o eixo dos xx.

As funções r(t) e θ(t) devem ser contínuas, com r > 0. Como as posições inicial e final são iguais, θ(0) e θ(1) diferem por um número inteiro múltiplo de 2π. Esse número é o índice. Portanto:

\operatorname{ind}(p,\gamma) = \frac{\theta(1) - \theta(0)}{2\pi}

Esta equação define o índice de um lacete em torno da origem O no plano xy. Pode-se estender essa definição, de modo a obter os índices em torno de qualquer ponto p.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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