Teorema dos resíduos

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Em análise complexa, o teorema dos resíduos é um método de cálculo de integrais de funções analíticas ao longo de caminhos fechados simples que generaliza a fórmula de Cauchy.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja U um aberto simplesmente conexo de C (tal como, por exemplo, um disco aberto ou todo o plano complexo), seja {a1,a2,…,an} uma parte finita de U, seja f uma função analítica de U\{a1,a2,…,an} em C e seja γ um lacete com valores em U. Então o teorema dos resíduos afirma que

\frac1{2\pi i}\int_\gamma f(z)\,dz=\sum_{k=1}^n\operatorname{ind}(a_k,\gamma)\operatorname{res}(a_k,f)

onde

  • ind(ak,γ) é o índice de γ relativamente a ak;
  • res(ak,f) é o resíduo da função f em ak.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Considere-se a função f de C\{0} em C definida por f(z) = 1z e o lacete γ de [0,2π] em C definido por γ(t) = cos(t) + isen(t) = eit. Um cálculo directo revela que
\int_\gamma f(z)\,dz=\int_0^{2\pi}\frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)}\,dt=2\pi i,

o que é coerente com o que diz o teorema dos resíduos, pois este afirma que (tomando U = C)

\frac1{2\pi i}\int_\gamma f(z)\,dz=\operatorname{ind}(0,\gamma)\operatorname{res}(0,f)=1\times1=1.
  • Considere-se a função f de C\{±1} em C definida por f(z) = z(z² − 1) e o lacete γ de [0,2π] em C definido por γ(t) = 2cos(t) + isen(t). Então, pelo teorema dos resíduos,
\begin{align}\int_\gamma f(z)\,dz&=2\pi i\left(\operatorname{ind}(1,\gamma)\operatorname{res}(1,f)+\operatorname{ind}(-1,\gamma)\operatorname{res}(-1,f)\right)\\&=2\pi i\left(1\times\frac12+1\times\frac12\right)\\&=2\pi i.\end{align}

Relação com a fórmula integral de Cauchy[editar | editar código-fonte]

Seja f uma função analítica cujo domínio contenha algum disco fechado { z ∈ C : |z − w| ≤ r }, para algum w ∈ C e para algum r > 0. Se se definir o lacete γ de [0,2π] em C por γ(t) = w + r.eit, então faz sentido, para cada a ∈ C tal que |a −w| < r, considerar o integral de f(z)(z − a) ao longo de γ e a fórmula de Cauchy diz que

\frac1{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(z)}{z-a}\,dz=f(a).

Mas, visto que ind(a,γ) = 1 e que

\operatorname{res}\left(a,\frac{f(z)}{z-a}\right)=f(a),

isto não é mais do que um caso particular do teorema dos resíduos.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979.