Resíduo (análise complexa)

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Em análise complexa, o resíduo de uma função analítica f numa singularidade p é um número complexo que permite calcular o valor de um integral de linha de f cuja imagem esteja na vizinhança de p. Há métodos simples de cálculo de resíduos e, por outro lado, o conhecimento dos resíduos de f permite calcular integrais de f ao longo de lacetes arbitrários, através do teorema dos resíduos.

Motivação[editar | editar código-fonte]

Como exemplo, considere a integral de contorno

\oint_C {e^z \over z^5}\,dz

onde C é uma curva de Jordan em torno de 0.

Agora calculamos essa integral utilizando os teoremas padrões de integral disponíveis. Assim, a série de Taylor para ez é conhecida, e podemos substituir esta série no integrando. A integral passa a ser

\oint_C {1 \over z^5}\left(1+z+{z^2 \over 2!} + {z^3\over 3!} + {z^4 \over 4!} + {z^5 \over 5!} + {z^6 \over 6!} + \cdots\right)\,dz.

Trazendo o termo 1/z5 para dentro da série, obtemos

\oint_C \left({1 \over z^5}+{z \over z^5}+{z^2 \over 2!\;z^5} + {z^3\over 3!\;z^5} + {z^4 \over 4!\;z^5} + {z^5 \over 5!\;z^5} + {z^6 \over 6!\;z^5} + \cdots\right)\,dz =
\oint_C \left({1 \over\;z^5}+{1 \over\;z^4}+{1 \over 2!\;z^3} + {1\over 3!\;z^2} + {1 \over 4!\;z} + {1\over\;5!} + {z \over 6!} + \cdots\right)\,dz.

A integral agora toma uma forma muito mais simples. Lembre-se que

\oint_C {1 \over z^a} \,dz=0,\quad a \in \mathbb{Z},\mbox{ for }a \ne 1.

Então, a integral em torno de C de todos os termos que não estão na forma cz−1 são iguais a zero e a integral é reduzida a

\oint_C {1 \over 4!\;z} \,dz={1 \over 4!}\oint_C{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i) = {\pi i \over 12}.

O valor 1/4! é conhecido como o resíduo de ez/z5 em z = 0, e denotado como

\mathrm{Res}(f,0), \mathrm{ou}\ \mathrm{Res}_0 {e^z \over z^5} \mathrm{ou}\ \mathrm{Res}_{z=0} {e^z \over z^5},.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja \Omega um subconjunto aberto do plano complexo \mathbb{C}, e z_0 um ponto de \Omega. Seja

f:\Omega\setminus\{z_0\}\to\mathbb C

uma função holomorfa, que apresenta em  z_0 uma singularidade isolada e possui uma única expansão local na série de Laurent

f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty a_n(z-z_0)^n.

O resíduo de  f em  z_0 é o coeficiente a_{-1} da série de Laurent.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]