Matriz identidade

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I_3=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\,\!

Modelo de uma matriz identidade

Em matemática, matriz identidade é uma matriz diagonal, cujos elementos da diagonal são todos iguais a 1. É denotada por I_n, onde n é a ordem da matriz, ou simplesmente por I. Ou seja, a matriz identidade I_n tem a seguinte forma:[1] [2]

I_n=\begin{bmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{bmatrix}_{n\times n}\,\!

A matriz I_n é o elemento neutro da multiplicação de matrizes. Mais precisamente, para qualquer matriz A, as seguintes igualdades são válidas:[1] [2]

A_{m,n} I_n = A_{m,n}\,\!
I_m  A_{m,n} = A_{m,n}\,\!


Definição[editar | editar código-fonte]

A matriz I_n = [a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}, onde:[1]

a_{i,j} = \left\{ \begin{array}{rr}
1 &,\text{se } i = j\\
0 &,\text{se } i\ne j
\end{array}\right.

é chamada de matriz identidade de ordem n.

Notações alternativas[editar | editar código-fonte]

Existem outras notações alternativas para se representar uma matriz identidade. São elas:

Matriz inversa[editar | editar código-fonte]

O conceito de matriz identidade é relacionado ao conceito de matriz inversa. Uma matriz multiplicada pela sua inversa é igual à matriz identidade.

A \cdot A^{-1} = I\,\!

A matriz inversa de uma matriz identidade é a própria matriz identidade, ou seja:

I = I^{-1}\,\!

Matriz transposta[editar | editar código-fonte]

A matriz transposta da matriz identidade é a própria matriz identidade.

I = I^{t} \,\!

Matriz identidade refletida[editar | editar código-fonte]

Multiplicando-se uma matriz qualquer pela matriz identidade refletida há a reflexão horizontal ou vertical da matriz. A matriz identidade refletida possui todos os elementos iguais a zero, exceto os da diagonal secundária, que são iguais a 1.

Considerando-se uma matriz A:

A_{x,y}=\begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,y}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,y}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{x,1} & a_{x,2} & \cdots & a_{x,y}\\
\end{bmatrix}

Quando a matriz A é multiplicada pela matriz identidade refletida (com A à esquerda), há reflexão horizontal da matriz A:

A_{x,y} \cdot R_y =\begin{bmatrix}
a_{1,y} & a_{1,y-1} & \cdots & a_{1,1}\\
a_{2,y} & a_{2,y-1} & \cdots & a_{2,1}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{x,y} & a_{x,y-1} & \cdots & a_{x,1}\\
\end{bmatrix}

Quando a matriz identidade refletida é multiplicada pela matriz A (com A à direita), há reflexão vertical da matriz A:

R_x \cdot A_{x,y}=\begin{bmatrix}
a_{x,1} & a_{x,2} & \cdots & a_{x,y}\\
a_{x-1,1} & a_{x-1,2} & \cdots & a_{x-1,y}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,y}\\
\end{bmatrix}

Ver também[editar | editar código-fonte]

  • a b c Kolman, B.. Álgebra linear com aplicações. 9. ed. [S.l.]: LTC, 2013. ISBN 9788521622086.
  • a b Strang, Gilbert. Álgebra linear e suas aplicações. 4. ed. [S.l.]: Cengage, 2010. ISBN 9788522107445.