Matriz identidade

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I_3=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\,\!

Modelo de uma matriz identidade

Matriz identidade, em matemática, é uma matriz quadrada e uma matriz diagonal, cuja função é de ser o elemento neutro, na multiplicação de matrizes. É denotada por In (onde n é a ordem da matriz), ou simplesmente por I. A matriz é construída da seguinte forma: os elementos da diagonal principal têm valor um, e os demais elementos da matriz são zero.

Para qualquer matriz A, as seguintes igualdades são válidas:

A_{m,n} \cdot I_n = A_{m,n}\,\!
I_m \cdot A_{m,n} = A_{m,n}\,\!

Uma matriz identidade se apresenta da seguinte forma:

I_n=\begin{bmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{bmatrix}\,\!

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma matriz identidade I é definida por:

I_n = {\left( i_{x,y} \right)}_n
i_{x,y}= \left\{
{\begin{matrix}
{1}&{,se\ x = y}
\\
{0}&{,se\ x \ne y}
\end{matrix}}
\right.\,\!

Notações alternativas[editar | editar código-fonte]

Existem outras notações alternativas para se representar uma matriz identidade. São elas:

Matriz inversa[editar | editar código-fonte]

O conceito de matriz identidade é relacionado ao conceito de matriz inversa. Uma matriz multiplicada pela sua inversa é igual à matriz identidade.

A \cdot A^{-1} = I\,\!

A matriz inversa de uma matriz identidade é a própria matriz identidade, ou seja:

I = I^{-1}\,\!

Matriz transposta[editar | editar código-fonte]

A matriz transposta da matriz identidade é a própria matriz identidade.

I = I^{t} \,\!

Matriz identidade refletida[editar | editar código-fonte]

Multiplicando-se uma matriz qualquer pela matriz identidade refletida há a reflexão horizontal ou vertical da matriz. A matriz identidade refletida possui todos os elementos iguais a zero, exceto os da diagonal secundária, que são iguais a 1.

Considerando-se uma matriz A:

A_{x,y}=\begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,y}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,y}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{x,1} & a_{x,2} & \cdots & a_{x,y}\\
\end{bmatrix}

Quando a matriz A é multiplicada pela matriz identidade refletida (com A à esquerda), há reflexão horizontal da matriz A:

A_{x,y} \cdot R_y =\begin{bmatrix}
a_{1,y} & a_{1,y-1} & \cdots & a_{1,1}\\
a_{2,y} & a_{2,y-1} & \cdots & a_{2,1}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{x,y} & a_{x,y-1} & \cdots & a_{x,1}\\
\end{bmatrix}

Quando a matriz identidade refletida é multiplicada pela matriz A (com A à direita), há reflexão vertical da matriz A:

R_x \cdot A_{x,y}=\begin{bmatrix}
a_{x,1} & a_{x,2} & \cdots & a_{x,y}\\
a_{x-1,1} & a_{x-1,2} & \cdots & a_{x-1,y}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,y}\\
\end{bmatrix}

Ver também[editar | editar código-fonte]