Matriz adjunta

A matriz adjunta de uma matriz quadrada A é a transposta da matriz que se obtem substituindo cada termo ${A}_{i,j}$ pelo determinante da matriz resultante de retirar a A a linha i e a coluna j (isso é, o determinante menor) multiplicado por ${(-1)}^{i+j}$ (isso é, alternando os sinais).

Exemplos

Matrizes 2x2

Para toda matriz de ordem 2:

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$

$\mbox{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

Construindo a adjunta passo-a-passo

Vamos deduzir a adjunta da matriz representada abaixo:

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$

Primeiro calculamos a matriz dos determinantes menores, tradicionalmente representada por "$\mathbf{M}$".

$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} \det{d} & \det{c} \\ \det{b} & \det{a} \end{bmatrix}$

Agora multiplicamos todo $\mathbf{M}_{i,j}$ por $(-1)^{i+j}$ para obter a matriz dos cofactores, tradicionalmente representada por "$\mathbf{C}$". Em termos mais simples, invertemos os sinais de todos aqueles termos cuja soma "$i+j$" é ímpar.

$\mathbf{C} = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix}$

Transpondo $\mathbf{C}$ chegamos à adjunta de $\mathbf{A}$.

$\mbox{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

Matrizes 3x3

Para toda matriz na forma:

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$

Fazendo a $(matriz dos cofatores de A)^t$ temos que:

$\mbox{adj}(A) = \begin{bmatrix} +\left| \begin{matrix} e & f \\ h & i \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} b & c \\ h & i \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} b & c \\ e & f \end{matrix} \right| \\ & & \\ -\left| \begin{matrix} d & f \\ g & i \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} a & c \\ g & i \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} a & c \\ d & f \end{matrix} \right| \\ & & \\ +\left| \begin{matrix} d & e \\ g & h \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} a & b \\ g & h \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} a & b \\ d & e \end{matrix} \right| \end{bmatrix}$

Onde as barras verticais simbolizam determinante.

Aplicações da adjunta

Determinação da matriz inversa

Com a matriz adjunta pode-se calcular a inversa de uma matriz de uma maneira diferente da tradicional, embora não mais rápida. A forma mais eficiente de obter a matriz inversa é através da eliminação de Gauss-Jordan. Para toda matriz invertível A:

$\mathbf{A}^{-1} = \frac{\mbox{adj}(\mathbf{A})}{\det(\mathbf{A})}.$

Logo, para toda matriz invertível de ordem 2:

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end{bmatrix}.$

Observação: Alguns matemáticos desrecomendam aquela notação em favor desta:

$\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \cdot \mbox{adj}(\mathbf{A}).$

Vale reforçar que só é invertível a matriz que é quadrada e cujo determinante é diferente de zero.

Outras aplicações

• Fórmula de Laplace (simplificação de determinantes)
• Regra de Cramer
• Fórmula de Jacobi (diferenciação de determinantes)