Matriz de Cauchy

Em matemática, uma matriz de Cauchy, nomeada em homenagem a Augustin-Louis Cauchy, é uma matriz $m\times n$ com elementos $a_{ij}$ na forma

$a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n$

onde $x_{i}$ e $y_{j}$ são elementos de um campo ${\mathcal {F}}$, e $(x_{i})$ e $(y_{j})$ são sequências injetivas (contêm elementos distintos).

A matriz de Hilbert é um caso especial da matriz de Cauchy, onde

$x_{i}-y_{j}=i+j-1.\;$

Cada submatriz de uma matriz de Cauchy é ela própria uma matriz de Cauchy.

Determinantes de Cauchy

O determinante de uma matriz de Cauchy é claramente uma fração racional nos parâmetros $(x_{i})$ e $(y_{j})$. Se as sequências não fossem injetivas, o determinante desapareceria, e tende ao infinito se algum $x_{i}$ tende a $y_{j}$. Um subconjunto de seus zeros e pólos é assim conhecido. O fato é que não há mais zeros e pólos:

O determinante de uma matriz $\mathbf {A}$ de Cauchy quadrada é conhecido como um determinante de Cauchy e pode ser fornecido explicitamente como

$\det \mathbf {A} ={{\prod _{i=2}^{n}\prod _{j=1}^{i-1}(x_{i}-x_{j})(y_{j}-y_{i})} \over {\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}(x_{i}-y_{j})}}$     (Schechter 1959, eqn 4; Cauchy 1841, p. 154, eqn. 10).

É sempre diferente de zero e, portanto, todas as matrizes quadradas de Cauchy são invertíveis. O inverso $\mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {B} =[b_{ij}]$ é dado por

$b_{ij}=(x_{j}-y_{i})A_{j}(y_{i})B_{i}(x_{j})\,$     (Schechter 1959, Teorema 1)

onde $A_{i}(x)$ e $B_{i}(x)$ são os polinômios de Lagrange para $(x_{i})$ e $(y_{j})$, respectivamente. Isso é,

$A_{i}(x)={\frac {A(x)}{A^{\prime }(x_{i})(x-x_{i})}}\quad {\text{e}}\quad B_{i}(x)={\frac {B(x)}{B^{\prime }(y_{i})(x-y_{i})}},$

com

$A(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})\quad {\text{e}}\quad B(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-y_{i}).$

Generalização

Uma matriz $\mathbf {C}$ é chamada de tipo Cauchy se tiver a forma

$C_{ij}={\frac {r_{i}s_{j}}{x_{i}-y_{j}}}.$

Definindo ${\boldsymbol {\mathrm {X} }}=\mathrm {diag} (x_{i})$, ${\boldsymbol {\mathrm {Y} }}=\mathrm {diag} (y_{i})$, vê-se que ambas as matrizes de Cauchy e do tipo Cauchy satisfazem a equação de deslocamento

$\mathbf {XC} -\mathbf {CY} =rs^{\mathrm {T} }$

(com $r=s=(1,1,\ldots ,1)$ para a de Cauchy). Portanto, as matrizes do tipo Cauchy têm uma estrutura de deslocamento comum, que pode ser explorada durante o trabalho com a matriz. Por exemplo, existem algoritmos conhecidos na literatura para

• multiplicação aproximada do vetor-matriz de Cauchy com $O(n\log n)$ ops (e.g. o método multipolar rápido),
• (pivotado) Fatoração LU com $O(n^{2})$ ops (algoritmo GKO) e, portanto, solução de sistema linear,
• algoritmos aproximados ou instáveis para solução de sistema linear em $O(n\log ^{2}n)$.

Aqui $n$ denota o tamanho da matriz (geralmente se trata de matrizes quadradas, embora todos os algoritmos possam ser facilmente generalizados para matrizes retangulares).

Referências

• Cauchy, Augustin Louis (1841). Exercices d'analyse et de physique mathématique. Vol. 2 (em French). [S.l.]: Bachelier  !CS1 manut: Língua não reconhecida (link)
• A. Gerasoulis (1988). «A fast algorithm for the multiplication of generalized Hilbert matrices with vectors» (PDF). Mathematics of Computation. 50 (181): 179–188. JSTOR 2007921. doi:10.2307/2007921 
• I. Gohberg; T. Kailath; V. Olshevsky (1995). «Fast Gaussian elimination with partial pivoting for matrices with displacement structure» (PDF). Mathematics of Computation. 64 (212): 1557–1576. doi:10.1090/s0025-5718-1995-1312096-x 
• P. G. Martinsson; M. Tygert; V. Rokhlin (2005). «An $O(N\log ^{2}N)$ algorithm for the inversion of general Toeplitz matrices» (PDF). Computers & Mathematics with Applications. 50 (5–6): 741–752. doi:10.1016/j.camwa.2005.03.011 
• S. Schechter (1959). «On the inversion of certain matrices» (PDF). Mathematical Tables and Other Aids to Computation. 13 (66): 73–77. JSTOR 2001955. doi:10.2307/2001955