Matriz diagonalizável

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
NoFonti.svg
Este artigo ou se(c)ção cita uma ou mais fontes fiáveis e independentes, mas ela(s) não cobre(m) todo o texto.
Por favor, melhore este artigo providenciando mais fontes fiáveis e independentes e inserindo-as em notas de rodapé ou no corpo do texto, conforme o livro de estilo.
Encontre fontes: Googlenotícias, livros, acadêmicoScirusBing. Veja como referenciar e citar as fontes.

Em álgebra linear, uma matriz quadrada A é diagonalizável quando é semelhante a uma matriz diagonal. Ou seja, se existe uma matriz D diagonal, tal que A = S D S^{-1} com S invertível.[1]

Analogamente, seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Então um operador linear T: V -> V é diagonalizável se existe uma base de V para a qual T é representado por uma matriz diagonal.

A diagonalização é o processo para transformar uma matriz ou operador diagonalizável em uma matriz diagonal.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

O problema da diagonalização de matrizes está relacionado ao estudo dos auto-vetores e auto-valores do operador linear (ou da matriz), e de alguns polinômios associados ao operador: o polinômio característico e o polinômio mínimo.

Alguns resultados:

  • Se uma matriz n x n tem n auto-valores distintos, ela é semelhante a uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal são seus auto-valores.
  • Se o espaço vetorial de dimensão n possui uma base formada por auto-vetores do operador linear, então a representação deste operador nesta base é uma matriz diagonal.
  • Se o polinômio mínimo do operador pode ser fatorado como o produto de polinômios de grau 1, então o operador é diagonalizável. A recíproca é trivialmente verdadeira: se o operador é diagonalizável, então seu polinômio mínimo é o produto de polinômios de grau 1.

Matrizes equivalentes com forma simples[editar | editar código-fonte]

Nem toda matriz pode ser diagonalizada, porém toda matriz é semelhante a uma matriz que é quase diagonal (os únicos elementos não-nulos que não estão na diagonal principal estão na diagonal secundária, ou seja, a diagonal imediatamente acima da principal, e valem um), esta forma é chamada de forma canônica de Jordan.

Referências

Wiki letter w.svg Este artigo sobre matemática é mínimo. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.