Matriz diagonalizável

Em álgebra linear, uma matriz quadrada A é diagonalizável quando é semelhante a uma matriz diagonal. Ou seja, se existe uma matriz D diagonal, tal que $A = S D S^{-1}$ com S invertível.

Analogamente, seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Então um operador linear T: V -> V é diagonalizável se existe uma base de V para a qual T é representado por uma matriz diagonal.

A diagonalização é o processo para transformar uma matriz ou operador diagonalizável em uma matriz diagonal.

Propriedades

O problema da diagonalização de matrizes está relacionado ao estudo dos auto-vetores e auto-valores do operador linear (ou da matriz), e de alguns polinômios associados ao operador: o polinômio característico e o polinômio mínimo.

Alguns resultados:

• Se uma matriz n x n tem n auto-valores distintos, então a matriz é diagonalizável, e os elementos da diagonal são os auto-valores
• Se o espaço vetorial de dimensão n possui uma base formada por auto-vetores do operador linear, então a representação deste operador nesta base é uma matriz diagonal.
• Se o polinômio mínimo do operador pode ser fatorado como o produto de polinômios de grau 1, então o operador é diagonalizável. A recíproca é trivialmente verdadeira: se o operador é diagonalizável, então seu polinômio mínimo é o produto de polinômios de grau 1.

Matrizes equivalentes com forma simples

Nem toda matriz pode ser diagonalizada, porém toda matriz é semelhante a uma matriz que é quase diagonal (os únicos elementos não-nulos que não estão na diagonal prinicipal estão na diagonal segundária, ou seja, a diagonal imediatamente acima da principal, e valem um), esta forma é chamada de forma canônica de Jordan.

Referências

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