Polinômio separável

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Em matemática, um polinômio p(x) é separável sobre um corpo K se suas raízes em um fecho algébrico de K são distintas - ou seja, p(x) tem fatores lineares distintos em uma extensão de corpo suficientemente grande. Equivalentemente, p é separável se e somente se é coprimo com sua derivada p' '′.

Dado um polinômio irreducível f no anel dos polinômios F[X] de um corpo qualquer F, dizemos que f é separável caso f não tenha raízes múltiplas no menor corpo que contém todas suas raízes.[Nota 1] [1]

Quando são estudados polinômios com coeficientes racionais, um resultado elementar é que, se o polinômio tem alguma raiz múltipla, então ele não é irreducível.[2] Generalizando este conceito, um polinômio p(x) em um corpo qualquer K é dito separável se todos os seus fatores irreducíveis tem apenas raízes simples.[2]

Um polinômio é separável se, e somente se, o maior divisor comum (m.d.c.) entre f e f' , definido como a derivada formal de f, for um polinômio de grau, pelo menos, igual a um.[3] Como em um corpo de característica zero a derivada formal de um polinômio qualquer é outro polinômio de um grau menor (e é zero apenas no caso de um polinômio constante),[Nota 2] e os únicos divisores de um polinômio irreducível f são ele mesmo e 1, segue-se que o m.d.c. entre f e f' é o polinômio 1, portanto todo polinômio é separável.[4]

Como contra-exemplo de um polinômio que não é separável, seja K = \mathbb{Z}_p(y)\, o corpo de frações dos polinômios com coeficientes no corpo finito \mathbb{Z}_p = \mathbb{Z} / p \mathbb{Z}\,. Então, no corpo L = K(y^p)\,, o polinômio p(x) = x^p - y^p\, é irreducível, mas ele tem uma raiz, y, de multiplicidade p.[5]

Um corpo é chamdo de perfeito quando todo polinômio é separável. Todo corpo de característica zero é perfeito.[2]


Notas e referências

Notas

  1. Este corpo existe, e é único a menos de isomorfismo; é chamado, na literatura em inglês, de splitting field.
  2. Como exceção para polinômios sobre corpos de característica p, tome, por exemplo, f(X) = X4 em GF(2), cuja derivada formal é f'(X) = 0.

Referências

  1. Robert B. Ash, Abstract Algebra: The Basic Graduate Year, Chapter 3, Ring Fundamentals, 3.4 Separability, 3.4.1 Definition and Comments [em linha]
  2. a b c Beachy/Blair, Abstract Algebra, Galois Theory, Chapter 8: The Galois group of a polynomial [em linha]
  3. Robert B. Ash, Abstract Algebra: The Basic Graduate Year, Chapter 3, Ring Fundamentals, 3.4 Separability, 3.4.2 Proposition
  4. Robert B. Ash, Abstract Algebra: The Basic Graduate Year, Chapter 3, Ring Fundamentals, 3.4 Separability, 3.4.3 Corollary
  5. Paul Garrett, Abstract Algebra, 22. Galois theory [em linha]