Polinômio separável

Em matemática, um polinômio p(x) é separável sobre um corpo K se suas raízes em um fecho algébrico de K são distintas - ou seja, p(x) tem fatores lineares distintos em uma extensão de corpo suficientemente grande. Equivalentemente, p é separável se e somente se é coprimo com sua derivada p' '′.

Contra-exemplo

Intuitivamente, todo polinômio irredutível deve ser separável; por exemplo, se um polinômio p(x) com coeficientes racionais tem uma raiz dupla, então o máximo divisor comum entre p(x) e a sua derivada p'(x) é um polinômio (com coeficientes racionais) que divide p(x), portanto todo polinômio (em $\mathbb{Q}\,$) irredutível é separável.

Para construir um contra-exemplo de um polinômio irredutível que não é separável, é preciso recorrer a corpos de característica p que possuem elementos transcendentes sobre $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z} = \mathbb{Z}_p\,$.

De fato, seja E um corpo de característica p que contém um elemento α transcendente sobre $\mathbb{Z}_p\,$.

Consideremos o subcorpo $K = \mathbb{Z}_p(\alpha)\,$, e neste corpo o polinômio p(x) = x^p - α^p.

É possível mostrar que p(x) é irredutível.

No entanto, no fecho algébrico de K, p(x) pode ser escrito como p(x) = (x - α)^p, com uma raiz de multiplicidade p.

Ligações externas

• Separable Polynomial - MathWorld (em inglês)