Teorema de Laplace

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Em álgebra linear, mais concretamente no Cálculo matricial, o Teorema de Laplace é um novo método que permite calcular o determinante duma matriz quadrada qualquer.[1]

Enunciado do teorema[editar | editar código-fonte]

O determinante de uma matriz A \in M_{n \times n} (\mathbb{K}) é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) pelos respectivos cofatores (ou complementos algébricos).

O cofator do elemento a_{i,j} duma matriz é o escalar A_{i,j} definido por

A_{i,j}\ = (-1)^{i+j} |M_{ij}|\,,

em que M_{i,j} representa a matriz que se obtém da matriz original pela eliminação da i-ésima linha e da j-ésima coluna.

Tem-se então que

det (A) = a_{i,1}A_{i,1} + a_{i,2}A_{i,2} + ... + a_{i,n}A_{i,n}\,

ou

det (A) = a_{1,j}A_{1,j} + a_{2,j}A_{2,j} + ... + a_{n,j}A_{n,j}\,

ou

\mathbf{A}^{-1} = \det(\mathbf{A})^{-1} \cdot \mbox{adj}(\mathbf{A}),

conforme seja escolhida a i-ésima linha ou a j-ésima coluna.

Aplicação[editar | editar código-fonte]

O teorema de Laplace é normalmente utilizado para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem superior ou igual a 4. Apesar de também se poder aplicar a matrizes de ordem inferior, neste caso o cálculo do determinante é usualmente mais simples utilizando-se a regra de Sarrus.

Na prática, o que se faz é passar do cálculo do determinante duma matriz de ordem n para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem n-1. O teorema pode ser aplicado sucessivamente até se obterem matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é mais simples de calcular.

Pode selecionar-se indiferentemente qualquer linha ou coluna da matriz para aplicar o teorema, pois todas conduzem ao mesmo resultado. No entanto, para simplificar os cálculos, é usual escolher-se a linha ou coluna que apresente mais zeros.

Na verdade, visto que o método consiste em multiplicar cada elemento da linha pelo seu cofator, no caso de o elemento ser 0, o produto é nulo, não havendo pois necessidade de calcular o cofator do dito elemento para achar o produto.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere-se a matriz

 B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}.

O determinante desta matriz pode ser calculado aplicando o teorema de Laplace à 1ª linha:

 |B| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}
 {} = 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3) = 0.

O mesmo resultado pode ser obtido aplicando o teorema à 2ª coluna:

 |B| = -2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} - 8 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix}
 {} = -2 \cdot (-6) + 5 \cdot (-12) - 8 \cdot (-6) = 0.

Referências

  1. Gabriel Alessandro de Oliveira. Teorema de Laplace (em português) R7 Brasil Escola. Visitado em 01 de junho de 2013.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]