Conjunto

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Na matemática, um conjunto é uma coleção de elementos[1] . A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A.[2]

Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto. Dizemos que dois conjuntos são iguais se, e somente se, cada elemento de um é também elemento do outro. [3]

Importância[editar | editar código-fonte]

Um conjunto é considerado um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo o elemento principal da teoria dos conjuntos.

Notação matemática[editar | editar código-fonte]

É possível descrever o mesmo conjunto de três maneiras diferentes, por meio de uma:

  1. lista os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos);
  2. definição de uma propriedade de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell, em Principia mathematica);
  3. representação gráfica.

A notação padrão em Matemática lista os elementos separados por vírgulas e delimitados por chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum e, em determinados contextos, considerado incorreto). Um conjunto A, por exemplo, poderia ser representado como:

A=\left\{1, 2, 3 \right\}

Como a ordem não importa em conjuntos, isso é equivalente a escrever, por exemplo:

A=\left\{1, 2, 2, 1, 3, 2\right\}

Um conjunto A também fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra que permita decidir se um objeto arbitrário pertence ou não a A. Por exemplo, a frase "B é o conjunto dos triângulos retângulos" define perfeitamente o conjunto B, já que permite decidir se um objeto qualquer é ou não elemento de B.[2] O mesmo conjunto A do parágrafo anterior poderia ser representado por uma regra:

A= \left\{ x\,|\,x \mbox{ é um número inteiro tal que } 0 < x < 4 \right\}

ou ainda:

A= \left\{ x\,:\,x \mbox{ é um número natural tal que } 1 \le  x \le  3 \right\}

Note que as propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das {}, após os elementos e separadas destes por : ou por |. Também é possível representar graficamente os conjuntos. O Diagrama de Venn-Euler é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas.

Conceitos essenciais[editar | editar código-fonte]

  • Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas;
  • Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas;
  • Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Se a é um elemento de A, podemos dizer que o elemento a pertence ao conjunto A e podemos escrever a \in A . Se a não é um elemento de A , nós podemos dizer que o elemento a não pertence ao conjunto A e podemos escrever a \not\in A.

Subconjuntos próprios e impróprios[editar | editar código-fonte]

Se A e B são conjuntos e todo o elemento x pertencente a A também pertence a B, então o conjunto A é dito um subconjunto do conjunto B, denotado por A \subseteq B. Note que esta definição inclui o caso em que A e B possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto (A=B). Se A \subseteq B e ao menos um elemento pertencente a B não pertence a A, então A é chamado de subconjunto próprio de B, denotado por A \subset B. Todo conjunto é subconjunto dele mesmo, entretanto não se enquadra na definição de subconjunto próprio, e é chamado de subconjunto impróprio.

A \subseteq B

Conjunto vazio[editar | editar código-fonte]

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por { } ou \emptyset.

Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não pertence ao conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

Cardinalidade[editar | editar código-fonte]

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número cardinal n.

Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser \aleph_0 (aleph-0), \aleph_1, \aleph_2 ....

Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto A é denotada por |A|. Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então  |A|=|B| .

Conjunto potência ou de partes[editar | editar código-fonte]

O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A é chamado de conjunto potência (ou conjunto das partes) de A, denotado por P(A). O conjunto potência é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.

Sendo o conjunto dado A finito, com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos ou o número de elementos do conjunto potência ou conjunto das partes de A é 2^n, ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de A é igual a 2^n. Como existe uma bijecção entre o conjunto das partes de A e o conjunto \{0,1\}^A, é usual representar-se P(A) por 2^A.

O Teorema de Cantor estabelece que |A| < |P(A)|.

Produto cartesiano[editar | editar código-fonte]

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

A \times B= \{(a,b) : a \in A \and b \in B\}

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

A + B = A \times \{0\} \cup B \times \{1\}.

Operações com conjuntos[editar | editar código-fonte]

De maneira semelhante ao que ocorre com os números, também existem operações matemáticas com conjuntos. Nos exemplos são utilizados diagramas de Venn para ilustrar.

Operação Operador Definição Exemplo
União \cup A união (ou reunião) de dois conjuntos A e B é o conjunto A \cup B composto dos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos A ou B. A união de N conjuntos S = S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cdots \cup S_N = \cup_{i=1}^N S_i é o conjunto formado pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos S_i. A união entre dois conjuntos pode ser definida formalmente por A \cup B=\{\forall x|x\in A \or x\in B\}
A \cup B
Interseção \cap A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto A \cap B composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos A e B.
A \cap B
Diferença \setminus ou - A diferença A \setminus B (ou A-B) entre dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que pertencem a A e que não pertencem a B.
A \setminus B

Conjuntos compostos por números[editar | editar código-fonte]

Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r, s, t e u são números reais.

  1. Números naturais são usados para contar. O símbolo \mathbb{N} usualmente representa este conjunto. Na literatura matemática, é possível encontrar textos que incluem o zero como número natural e textos que não incluem.
  2. Números primos aparecem na fatoração de números inteiros. O símbolo \mathbb{P} usualmente representa este conjunto.
  3. Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo \mathbb{Z} usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).
  4. Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo \mathbb{Q} usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
  5. Números irracionais são números reais que não são números racionais. O símbolo \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} usualmente representa este conjunto.
  6. Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo \mathbb{A} ou \bar{\mathbb{Q}} usualmente representa este conjunto.
  7. Números transcendentais são números reais que não são números algébricos. O símbolo \mathbb{R}\setminus\mathbb{A} usualmente representa este conjunto.
  8. Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo \mathbb{R} usualmente representa este conjunto. (O estudo destes conjuntos é tão importante que recebe até nome específico: análise real.)
  9. Números imaginários aparecem como soluções de equações como x ² + r = 0 onde r > 0. O símbolo \mathbb{I} ou i \mathbb{R} usualmente representa este conjunto.
  10. Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários: r + si. O símbolo \mathbb{C} usualmente representa este conjunto.
  11. Números quaterniões é a soma de números reais e de três números imaginários de unidades distintas: r + si + tj + uk. O símbolo \mathbb{H} usualmente representa este conjunto.
  12. Números octoniões é a soma de números reais e de sete números imaginários de unidades distintas. O símbolo \mathbb{O} usualmente representa este conjunto.
  13. Números complexos hiperbólicos é a soma de números reais com uma unidade que satisfaz \jmath^2 = 1 e \jmath \neq \pm 1. Os números complexos hiperbólicos são da forma r + s\jmath. Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero. O símbolo \mathbb{R}^{1,1} usualmente representa este conjunto.
  14. Números p-ádicos são uma extensão dos números inteiros, onde p é um número primo. Os símbolos \mathbb{Z}_p usualmente representam estes conjuntos. (não confundir com inteiros módulo p)
  15. Números ordinais aparecem em Teoria dos Conjuntos. Não existe o conjunto dos números ordinais.
  16. Números cardinais aparecem em Teoria dos Conjuntos. Um número cardinal é um número ordinal que não é equipotente a nenhum ordinal menor do que ele. Não existe o conjunto dos números cardinais.

Referências

  1. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (em alemão) Georg Cantor. doi:10.1007/bf02124929.
  2. a b LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. 11ª edição, 2004. Página 2. ISBN 9788524401183
  3. Conjuntos

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros
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