Hipótese do continuum

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A hipótese do continuum é uma conjectura proposta por Georg Cantor. Esta conjectura consiste no seguinte:

Não existe nenhum conjunto com mais elementos do que o conjunto dos números inteiros e menos elementos do que o conjunto dos números reais.

Aqui mais elementos e menos elementos tem um sentido muito preciso (ver número cardinal). Esta hipótese foi o número um dos 23 Problemas de Hilbert apresentados na conferência do Congresso Internacional de Matemática de 1900, o que levou a que fosse estudada profundamente durante o século XX.

Nem verdadeira nem falsa[editar | editar código-fonte]

Cantor acreditava que a conjectura era verdadeira. No entanto:

Deste modo a hipótese do continuum é independente dos axiomas de Zermelo-Fraenkel. Esta independência leva alguns matemáticos a considerarem que os axiomas de Zermelo-Fraenkel não são os mais suficientes para resolver problemas significativos da teoria de conjuntos e que deveriam ser considerados axiomas adicionais para tornar esta hipótese verdadeira ou falsa. Em particular, Gödel, apesar de ter demonstrado a sua consistência, considerava a possibilidade de que novos axiomas permitissem refutar a Hipótese do Contínuo[2] .

Hipótese do Continuum generalizada[editar | editar código-fonte]

Aleph (א) é uma letra usada para representar cardinais infinitos. A cardinalidade dos conjunto dos números inteiros é \aleph_0, o cardinal seguinte é \aleph_1, etc. Usando os números cardinais א, a hipótese do Continuum pode ser escrita como:

\aleph_1 = 2^{\aleph_0}

A generalização desta hipótese (que não pode ser provada a partir dela) é que para qualquer ordinal \alpha:

\aleph_{\alpha+1}=2^{\aleph_\alpha}

Um cuidado deve ser observado na fórmula acima: o tratamento de α + 1 usa aritmética ordinal enquanto que o tratamento de 2^{\aleph_\alpha}\, usa aritmética cardinal; todo número cardinal é, por definição, um número ordinal, mas a recíproca não é verdadeira.

Cardinalidade do contínuo[editar | editar código-fonte]

Em ZFC, a teoria dos conjuntos com os axiomas de Zermelo-Fraenkel mais o axioma da escolha, a cardinalidade do contínuo está muito indeterminada. O primeiro resultado negativo foi demonstrado por König, sobre os valores que o contínuo não pode tomar, pois o denominado teorema de König mostra:

 \mathbf{ZFC} \vdash 2^{\aleph_0} \ne \aleph_{\omega}\,

O mesmo acontece para outros cardinais de cofinalidade \omega^{\,}:

 \mathbf{ZFC} \vdash 2^{\aleph_0} \ne \aleph_{\omega + \omega}\,
 \mathbf{ZFC} \vdash 2^{\aleph_0} \ne \aleph_{\omega_{\omega}}\,


Seja \mbox{Con} \left( T \right) o enunciado " T^{\,}  é consistente". Como enunciado acima, Gödel demonstrou:

\mbox{Con}  \left( \mathbf{ZFC} \right) \Rightarrow \mbox{Con}  \left( \mathbf{ZFC} + 2^{\aleph_0} = \aleph_1\right)

Usando forçamento (forcing) os seguintes resultados podem ser demonstrados:

\mbox{Con}  \left( \mathbf{ZFC} \right) \Rightarrow \mbox{Con}  \left( \mathbf{ZFC} + 2^{\aleph_0} = \aleph_n\right)

para qualquer  n \ge 2 . De maneira mais geral, o contínuo pode ser qualquer cardinal regular não enumerável.[3] Por exemplo:

\mbox{Con} \left( \mathbf{ZFC} \right) \Rightarrow \mbox{Con}  \left( \mathbf{ZFC} + 2^{\aleph_0} = \aleph_{\omega + 42} \right)
\mbox{Con}  \left( \mathbf{ZFC} \right) \Rightarrow \mbox{Con}  \left( \mathbf{ZFC} + 2^{\aleph_0} = \aleph_{\omega_1} \right)

Se denominarmos WI o enunciado "existe um cardinal fracamente inacessível", então vale[4] :

\mbox{Con}  \left( \mathbf{ZFC + WI} \right) \Rightarrow \mbox{Con}  \left( \mathbf{ZFC} + \mbox{``}2^{\aleph_0} \;\;\mbox{é fracamente inacessível''} \right)

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Gödel, K., Collected Works: Oxford University Press: New York. Editor-in-chief: Solomon Feferman. Volume II: Publications 1938–1974 ISBN 9780195039726 / Paperback:ISBN 9780195147216, p. 1--101.
  2. Gödel, K., ibid., p. 264.
  3. KUNEN (1980), p. 55 e 281.
  4. Ibid.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • KUNEN, Kenneth. Set theory: an introduction to independence proofs (em inglês). Amsterdam: Elsevier, 1980. ISBN 0-444-86839-9