Problemas de Hilbert

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
David Hilbert, o autor dos "23 problemas"

Os Problemas de Hilbert são uma lista de 23 problemas em matemática propostos pelo matemático alemão David Hilbert na conferência do Congresso Internacional de Matemáticos de Paris em 1900. Nenhum dos problemas havia tido solução até então, e vários deles acabaram se tornando muito influentes na matemática do século XX. Nessa conferência, ele publicou 10 dos problemas (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, e 22), e o resto da lista foi publicado mais tarde.

Natureza e Influência dos problemas[editar | editar código-fonte]

Os problemas de Hilbert foram bastante amplos e precisos. Alguns deles foram claros o suficiente em busca de uma resposta sim ou não, como por exemplo o terceiro problema (provavelmente o mais simples de ser entendido por não especialistas além de ter sido o primeiro a ser resolvido) ou o oitavo problema  (A hipótese de  Riemann). Existem outros problemas  (como o quinto) com os quais especialistas concordam numa única interpretação e uma solução para tal interpretação foi dada, mas alguns permanecem não resolvidos, talvez estes estejam intimamente relacionados com o que Hilbert pretendia. Às vezes as declarações de Hilbert não eram precisas o suficiente para especificar um problema em particular, mas eram sugestivas o suficiente de forma que certos problemas de natureza mais contemporânea pareciam ter uma aplicação, por exemplo estudiosos de Teoria Moderna dos Números provavelmente poderiam ver o nono problema como uma referência à correspondência conjectural de Langlands sobre a representação de grupos de Galois de um corpo de números. Como também por exemplo (o décimo primeiro e o décimo sexto) centrados no que é hoje sub disciplinas matemáticas florescentes, como a teoria das formas quadráticas e as curvas algébricas reais.

Existem dois problemas que além de não terem sido resolvidos, não  podem ser resolvidos com as técnicas modernas. O sexto problema consiste na axiomatização da física, uma meta para os físicos do século XX (inclusive isto é visto como uma disciplina independente da matemática) se tornou tanto mais remoto quanto menos importante na época de Hilbert. Também, o quarto problema, que envolve as fundações da geometria, foi escrito de maneira muito vaga não chegando assim a uma resposta definitiva.

Notavelmente, os outros vinte e um problemas receberam uma atenção significante, e no final do século vinte, trabalhos com estes problemas ainda são de grande importância. Paul Cohen recebeu a Medalha Fields em 1966 pelo seu trabalho no primeiro problema e a solução negativa para o décimo problema em 1970 por Matiyasevich (completando o trabalho de Davis, Putnam e Robinson) geraram uma aclamação similar. Aspectos desses problemas ainda despertam grande interesse hoje.

Ignorabimus[editar | editar código-fonte]

Muitos dos problemas de Hilbert foram resolvidos de maneira surpreendente, e por vezes de forma  perturbadora, até mesmo para o próprio Hilbert. Seguindo Frege e Russell, Hilbert procurou definir a matemática através da lógica usando o método de sistemas formais, ou seja, provas finitistas a partir de um conjunto constituído por axiomas. Um dos principais objetivos do programa de Hilbert era uma prova finitista da consistência dos axiomas da aritmética: o que fora proposto em seu segundo problema.

No entanto, o segundo teorema da incompletude de Gödel mostra que uma prova finitista da consistência da aritmética é comprovadamente impossível. Hilbert viveu por 12 anos após o teorema de Gödel, mas parece que ele não escreveu qualquer resposta formal ao seu trabalho. Mas, sem dúvida, a importância do trabalho de Gödel para a matemática como um todo (não apenas na lógica formal) foi amplamente ilustrado pela sua aplicabilidade a um dos problemas de Hilbert.

O décimo problema de Hilbert não pergunta se existe um algoritmo para decidir a solubilidade de equações diofantinas, mas pede a construção de um algoritmo que possa determinar em um número finito de operações, se a equação é solúvel por números inteiros e racionais. Este problema foi resolvido, mostrando que não pode haver qualquer algoritmo que satisfaça o que foi proposto, o que presumivelmente foi bastante surpreendente para ele.

Ao discutir sua opinião de que todo problema matemático deve ter uma solução, Hilbert permite que, possivelmente, uma solução poderia ser uma prova de que o problema original é impossível. Notoriamente, ele afirmou que a questão é saber de um jeito ou de outro qual é a solução, pois ele acreditava que sempre poderíamos encontra-lo, e que na matemática não há qualquer "ignorabimus" (declaração cuja verdade nunca possa ser conhecida). Parece claro que se ele tivesse considerado a solução do décimo problema como uma instância do ignorabimus, estaríamos provando que “não existir” não é a solução inteira, mas (de certa forma) a nossa própria capacidade de discernir (de uma maneira específica) se existe uma solução.

Por outro lado, a situação do primeiro e segundo problemas são ainda mais complicados, pois não existe qualquer consenso matemático claro se os resultados de Gödel (para o segundo problema), ou Gödel e Cohen (para o primeiro problema) dão soluções definitivas negativas ou não, uma vez que estas soluções são aplicáveis ​​a certa formalização de problemas, formalização esta que é bastante razoável, mas não é necessariamente a única possível.

Lista e situação dos problemas[editar | editar código-fonte]

Os 23 problemas de Hilbert são:

Número do problema Situação Enunciado
Problema 1 Resolvido1 Provar a hipótese do continuum (HC) de Cantor
Problema 2 Resolvido2 Demonstrar a consistência dos axiomas da aritmética
Problema 3 Resolvido3 Pode-se provar que dois tetraedros têm o mesmo volume (sob certas condições)?
Problema 4 Vago Demais4 Construir todos os espaços métricos em que as linhas são geodésicas
Problema 5 Resolvido5 Todo grupo contínuo é automaticamente um grupo diferencial?
Problema 6 Não-matemático6 Transformar toda a Física em axiomas
Problema 7 Resolvido7 a b é transcendente para a ≠ 0,1 algébrico e b irracional algébrico? (ex.: 2^{\sqrt{2}})
Problema 8 Aberto8 A Hipótese de Riemann e a Conjectura de Goldbach
Problema 9 Parcialmente Resolvido9 Achar a lei de reciprocidade mais geral em todo campo de número algébrico
Problema 10 Resolvido10 Encontrar um algoritmo que determine se uma equação diofantina tem solução
Problema 11 Parcialmente Resolvido11 Classificar as formas quadráticas a coeficiente nos anéis algébricos inteiros
Problema 12 Aberto12 Estender o Teorema de Kronecker-Weber para os corpos não abelianos.
Problema 13 Resolvido13 Demonstrar a impossibilidade de resolver equações de sétimo grau através de funções de somente duas variáveis
Problema 14 Resolvido14 Provar o carácter finito de certos sistemas completos de funções
Problema 15 Parcialmente Resolvido15 Desenvolver bases sólidas para o cálculo enumerativo de Schubert
Problema 16 Aberto16 Desenvolver uma topologia de curvas e superfícies algébricas
Problema 17 Resolvido17 Demonstrar que uma função racional positiva pode ser escrita sob a forma de soma de quadrados de funções racionais
Problema 18 Resolvido18 Construir um espaço euclidiano com poliedros congruentes. Qual a maneira mais densa de se empacotarem esferas?
Problema 19 Resolvido19 Provar que o cálculo de variações é sempre necessariamente analítico
Problema 20 Resolvido20 Todos os problemas variacionais com certas condições de contorno têm solução?
Problema 21 Resolvido21 Prova da existência de equações diferenciais lineares tendo um determinado grupo monodrômico
Problema 22 Resolvido22 Uniformizar as curvas analíticas através de funções automorfas
Problema 23 Aberto23 Desenvolver um método geral de resolução no cálculo de variações

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. O resultado de independência de Cohen, mostrando que a hipótese do Continuum (HC) independe do axioma de Zermelo-Fränkel e do axioma da escolha (ZFC) é freqüentemente citado para justificar a asserção que o primeiro problema foi resolvido, apesar de que possa ser possível que a Teoria dos Conjuntos deveria ter axiomas adicionais capazes de resolver o problema.
  2. Gödel demonstrou em 1931, através do seu teorema da Incompletude, que isso não podia ser demonstrado sem sair da aritmética. Gerhard Gentzen, no entanto, demonstrou que a resposta era afirmativa colocando-se o problema no âmbito da Teoria dos Conjuntos.
  3. Dehn, aluno de Hilbert, mostrou que não já em 1900, demonstrando que era impossível dividir um cubo e um tetraedro regular de mesmo volume em um número finito de poliedros idênticos dois a dois. Apesar de tudo, o paradoxo de Banach–Tarski constitui um resultado positivo para essa questão, porém sua demonstração depende do axioma da escolha.
  4. Segundo Rowe & Gray (veja referência abaixo), a maioria dos problemas foram resolvidos. Alguns não foram completamente definidos, mas progresso suficiente foi feito para que se possa considerá-los como "resolvidos"; Rowe & Gray consideram o quarto problema como vago demais para se dizer se foi ou não resolvido.
  5. O teorema de Gleason-Montgomery-Zippin, em 1953, respondeu com a afirmativa.
  6. Graças à aparição da Teoria da Relatividade e da Mecânica Quântica, o problema tornou-se rapidamente obsoleto. No entanto, pode-se notar que a Física teórica e a Matemática se aproximam cada vez mais. Atualmente, existem vários axiomas usados na física quântica: Os Axiomas de John von Neumann, os Axiomas de Wightman, etc.
  7. Os trabalhos de Gelfond, completados por Schneider e Baker, permitiram a resolução parcial deste problema (ver Teorema de Gelfond-Schneider).
  8. O problema 8 contém dois famosos problemas, e ambos permanecem sem solução. O primeiro deles, a hipótese de Riemann, é um dos 7 problemas do Prémio Millenium, que têm a fama de serem os "Problemas de Hilbert" do século XXI. Progressos foram feitos por Pierre Deligne, que demonstrou as conjecturas de Weil, e recebeu por isso a medalha Fields en 1978, mas estima-se que a solução do problema ainda esteja longe. A Conjectura de Goldbach também permanece sem qualquer solução definitiva.
  9. Resolvido por Emil Artin em 1927.
  10. Foi somente com os trabalhos de Church et Turing em 1930 que se definiu rigorosamente a noção de algoritmo. Em 1970, Yuri Matiyasevich, estabelecendo uma equivalência entre os conjuntos recursivamente enumeráveis e os conjuntos diofantinos, estabeleceu que um tal algoritmo não podia existir.
  11. O teorema de Hasse-Minkowski resolve o problema em \mathbb Q, e Siegel resolveu-o para outros anéis íntegros.
  12. -Este problema aberto é de multiplicação complexa num campo imaginário quadrático e Robert Langlands o incluiu no seu Programa, iniciado em 1967.
  13. Demonstrado por Kolmogorov e seu aluno Vladimir Arnold em 1954.
  14. Nagata deu um contra-exemplo, em 1959, que mostrou a falsidade da conjectura.
  15. Resolvido por van der Waerden em 1930.
  16. O problema está aberto e no seu status atual, a definição da solução está em 2 conceitos: uma investigação das posições relativas das marcas das curvas álgebricas de ordem n (e similaridades em superfícies álgebricas); a determinação do limite superior do número de ciclos de limites em polinômios de campos vetoriais de ordem n e uma consequente investigação de suas posições relativas.
  17. Resolvido por Artin em 1927.
  18. Rowe & Gray também consideram o 18° problema como "aberto" em seu livro de 2000, porque o problema de empacotamento de esferas (também conhecido como a conjectura de Kepler) não estava resolvido, mas uma solução para ele foi anunciada em 1998 por Thomas Hall. A outra parte do problema foi resolvida por Ludwig Bieberbach em 1910.
  19. Resolvido por Sergei Bernstein e Tibor Rado em 1929. Em 1957, surgiram duas novas soluções para esta questão: uma do italiano Ennio de Giorgi e outra, do americano John Nash [este usando métodos originais e sem saber da solução de Ennio].
  20. O resultado é descoberto por solução em casos não-lineares.
  21. Resolvido por Helmut Rörl em 1957
  22. Resolvido por Koebe e Henri Poincaré em 1907.
  23. Este problema não foi resolvido.

O 24° problema[editar | editar código-fonte]

Ao preparar os problemas, Hilbert havia listado 24 problemas, mas acabou decidindo não propor um deles. O 24° era sobre um critério para simplicidade e métodos gerais em Teoria de Prova. Deve-se a descoberta deste problema a Rüdiger Thiele, em 2000.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Rowe, David; Gray, Jeremy J. (2000). The Hilbert Challenge. Oxford University Press. ISBN 0198506511
  • Yandell, Benjamin H. (2002). The Honors Class. Hilbert's Problems and Their Solvers. A K Peters. ISBN 1568811411

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]