Programa de Hilbert

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O Programa de Hilbert foi uma proposta, feita em 1921 pelo matemático alemão David Hilbert, de reformular as bases da matemática de forma rigorosa, partindo da aritmética. Segundo ele, toda a matemática poderia ser reduzida a um número finito de axiomas consistentes. Assim, qualquer proposição da matemática poderia ser provada dentro desse sistema (e o sistema seria dito completo).

Em 1931, o matemático Kurt Gödel provou, através do seu Teorema da incompletude, que esta tarefa era impossível. No teorema, Gödel mostra que um sistema axiomático consistente não pode provar sua própria consistência. Assim, se um sistema axiomático consegue provar sua própria consistência, ele só pode ser inconsistente. Além disso, em sistemas com o poder de definir os números naturais (como o que Hilbert idealizou), sempre há proposições (chamadas de indecidíveis) que não podem ser provadas dentro do sistema (portanto o sistema é incompleto). Desta forma, o sistema não pode ser simultaneamente completo e consistente, e a exigência hilbertiana de completude e consistência não pode ser colocada em prática.

Gödel deixou em aberto a possibilidade de existir um método geral para determinar se uma dada proposição é decidível. Em 1936, entretanto, o matemático Alan Turing provou que tal método não pode existir.

Na Matemática, o programa de Hilbert, formulado pelo matemático alemão David Hilbert, foi uma solução proposta para a crise fundamental da matemática, quando as primeiras tentativas de deixar mais claros os fundamentos da matemática, foram encontrados paradoxos e inconsistências. Como solução, Hilbert propôs basear todas as teorias existentes para um finito, um conjunto completo de axiomas, e então promover uma prova que esses axiomas eram consistentes. Hilbert propôs que a consistência de sistemas mais complicados, tais como análise real, poderiam ser provadas em termos de sistemas mais simples. Por fim, a consistência de toda a matemática poderia ser reduzida a aritmética básica.

Entretanto, alguns argumentam que o teorema de incompletude de Gödel mostrou em 1931 que o programa de Hilbert era irrealizável. Em seu primeiro teorema, Gödel demonstrou que qualquer sistema consistente com um conjunto computável de axiomas, o qual é capaz de expressar aritmética, não pode nunca ser completo: é possível construir um enunciado que pode ser mostrado verdadeiro, mas não pode ser derivado de regras formais do sistema. No seu segundo teorema, ele mostrou que tal sistema não poderia provar sua própria consistência, então o sistema certamente não poderia ser usado para provar a consistência de nenhum outro sistema mais complexo. Isso refutou a suposição de Hilbert que um sistema finito poderia ser usado para provar a consistência de uma teoria mais complexa.

Enunciado do programa de Hilbert[editar | editar código-fonte]

O principal objetivo do programa de Hilbert foi o de fornecer bases seguras para toda a matemática. Em particular este deve incluir:

• A formalização de toda a matemática; em outras palavras todos os enunciados matemáticos deveriam ser escritos em uma linguagem formal e manipulados de acordo com regras bem definidas. • Completude: uma prova de que todos os enunciados matemáticos verdadeiros podem ser provados no formalismo. • Consistência: uma prova que nenhuma contradição pode ser obtida no formalismo. Esta prova de consistência deve preferencialmente usar somente o raciocínio “finitista” sobre objetos matemáticos finitos. • Conservação: uma prova de que qualquer resultado sobre “objetos reais” obtidos usando o raciocínio sobre “objetos ideais” (tais como um conjunto incontável) pode ser provado sem o uso de objetos ideais. • Decidibilidade: deve haver um algoritmo para decidir a veracidade ou a falsidade de qualquer declaração matemática, ou seja, deve haver um algoritmo para decidir, dado qualquer enunciado matemático, se ele é verdadeiro ou falso.

O teorema da incompletude de Gödel[editar | editar código-fonte]

Kurt Gödel mostrou que a maioria dos objetivos do programa de Hilbert eram impossíveis de se alcançar, pelo menos se interpretados de uma maneira mais óbvia. Seu segundo teorema da incompletude afirmou que qualquer teoria consistente poderosa o suficiente para codificar adição e multiplicação de inteiros não pode provar sua própria consistência. Isso contradiz a maior parte do programa de Hilbert como se segue:

• Não é possível formalizar toda a matemática, qualquer tentativa de tal formalismo irá omitir alguma sentença matemática verdadeira. • Uma consequência fácil do teorema da incompletude de Gödel é que nem mesmo há extensão completa e consistente da aritmética de Peano com um conjunto numérico recursivo de axiomas, então de modo particular as mais interessantes teorias matemáticas não estão completas. • Uma teoria como a aritmética de Peano não pode nem provar sua própria consistência, por isto um subconjunto finito restrito certamente não pode provar a consistência das mais fortes teorias, como a teoria dos conjuntos. • Não há algoritmo para decidir a veracidade (ou prova) das declarações em qualquer extensão consistente da aritmética de Peano. (Estritamente falando, este resultado só apareceu alguns anos depois da teoria de Gödel, porque até aquele momento a noção de algoritmo não estava definida com precisão)

Programa de Hilbert após Gödel[editar | editar código-fonte]

Várias correntes de pesquisa em matemática lógica, prova de teorias e matemática reversa podem ser vistas como uma continuação natural do programa original de Hilbert. Muito disso pode ser recuperado ao se trocar superficialmente seus objetivos, e com as seguintes mudanças uma parte do programa de Hilbert foi completo com sucesso:

• Embora não seja possível formalizar toda a matemática, é possível essencialmente formalizar toda a matemática que qualquer pessoa usa. Em particular, a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, combinada com lógica de primeira ordem, dá um satisfatório e um formalismo geralmente aceito por essencialmente toda matemática.

• Embora não seja possível provar a corretude para sistemas aos menos tão poderosos quanto a aritmética de Peano (ao menos que tenha-se um conjunto computável de axiomas), é possível provar formas de completude para vários sistemas interessantes. O primeiro grande sucesso foi o do próprio Gödel (antes dele ter provado o teorema da incompletude) que provou o teorema da completude para a lógica de primeira ordem, mostrando que qualquer consequência lógica de uma série de axiomas é demonstrável. Um exemplo de uma teoria não-trivial cuja completude foi provada é a teoria de corpos fechados algebricamente de uma dada característica.

• A questão de se há provas finitas consistentes de teorias fortes é difícil de se responder, principalmente porque não há uma definição geral de um “prova finitária”. Muitos matemáticos que trabalham em provas de teorias parecem considerar “matemática finita” como contida na aritmética de Peano, e nesse caso não é possível dar provas finitas de teorias razoavelmente fortes. Por outro lado, Gödel sugeriu a possibilidade de dar consistentes provas finitas usando métodos finitos que não podem ser formalizados na aritmética de Peano, então ele parece ter tido uma visão mais liberal de quais métodos finitos podem ser permitidos. Poucos anos depois, Gentzen deu uma prova consistente para a aritmética de Peano. A única parte dessa prova que não era claramente finita era uma indução transfinita até o ordinal ε0. Se essa indução transfinita for aceita como um método finito, então pode-se afirmar que há uma prova finita consistente na aritmética de Peano. Subconjuntos mais poderosos de segunda ordem aritmética têm dado provas consistentes por Gaisi Takeuti e outros, e pode-se de novo debater sobre o quão finitas ou construtivas essas provas são. (As teorias que têm sido provadas consistentes por esses métodos são bem fortes e incluem as matemáticas mais “ordinárias”).

• Embora não haja algoritmo para comprovar a verdade das afirmações da aritmética de Peano, há várias teorias interessantes e não-triviais para as quais tais algoritmos têm sido encontrados. Por exemplo, Tarski encontrou um algoritmo que pode comprovar qualquer enunciado da geometria analítica (mais precisamente, ele provou que a teoria de corpos reais fechados é decidível). Dado o axioma de Cantor-Dedekind, esse algoritmo pode ser considerado como o algoritmo que comprova qualquer afirmação da geometria euclidiana. Isso é substancial como poucas pessoas considerariam a geometria euclidiana como uma teoria trivial.

Referências

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