Cofinalidade

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Em matemática, especialmente na teoria da ordem e em teoria dos conjuntos, a cofinalidade de um conjunto parcialmente ordenado (A, ≤), cf(A), é o menor dos cardinais dos conjuntos parcialmente ordenados cofinais com (A, ≤) [1] . Dado um conjunto parcialmente ordenado (A, ≤), diz-se que um subconjunto B de A, BA, é cofinal com A (com a ordem anterior restrita a B) se para cada aA existe um bB tal que ab[2] . O conceito de cofinalidade foi introduzido por Felix Hausdorff em 1908[3] .

Cofinalidade de ordinais[editar | editar código-fonte]

Seja \alpha > 0 um ordinal limite. Uma sequência crescente  \left\langle \alpha_\xi : \xi < \beta\right\rangle , com \beta ordinal limite é dita cofinal com \alpha se  \mbox{lim}_{\xi \rightarrow \beta} \;\; \alpha_\xi = \alpha [4] .

De maneira similar, a cofinalidade pode ser definida para um ordinal limite \alpha > 0 como um ordinal limite \beta:

 \mathit{cf}\left(\alpha\right) = \mbox{o menor ordinal limite } \beta \mbox{ tal que existe uma } \beta\mbox{-sequência } \left\langle \alpha_\xi : \xi < \beta\right\rangle \mbox{ com lim}_{\xi \rightarrow \beta} \;\; \alpha_\xi = \alpha [5] .

Exemplos[editar | editar código-fonte]

O conjunto dos números naturais,  \mathbb N é cofinal com o conjunto dos números reais,  \mathbb R , com a ordem usual desses conjuntos, pois para cada número real  x \in \mathbb R , existe um número natural  n \in\mathbb N , tal que  x \le n . Da mesma maneira, o conjunto dos números racionais,  \mathbb Q , também é cofinal com  \mathbb R e todos esses conjuntos tem cofinalidade \omega.

O ordinal \omega+\omega tem cofinalidade \omega, cf(\omega+\omega)=\omega, pois segundo a definição geral, \omega é cofinal com \omega+\omega e \aleph_0 = \omega. Considerando a cofinalidade de ordinais, existe a \omega\mbox{-sequência}

 \left\langle \omega + n : n < \omega\right\rangle \mbox{ com lim}_{n \rightarrow \omega} \;\; ( \omega + n ) = \omega+\omega

De maneira análoga, \mbox{cf}\left( \aleph_\omega \right) = \omega, pois

 \mbox{lim}_{n \rightarrow \omega} \;\; ( \aleph_n ) = \aleph_\omega

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A cofinalidade tem as seguintes propriedades:

\mbox{cf}(\mbox{cf}(\alpha))_{\;}\!\! = \mbox{cf}( \alpha ) [6]
\mbox{cf}(\alpha)_{\;}\!\!\mbox{ é um} \mbox{cardinal regular}_{\;}\!\!\mbox{, para todo ordinal limite }\alpha_{\;}\!\![7]
\mbox{Se } \kappa_{\;}\!\! \mbox{ é um cardinal infinito, então }\kappa < \kappa^{\mbox{cf}(\kappa)_{\;}}[8]

Deste último obtemos:

\mbox{cf} \left( 2^{\omega} \right) > \omega[9]

Referências

  1. Jech [2006] , p. 461.
  2. Ibid.
  3. Hausdorff [1908] , p. 440.
  4. Jech [2006] , p. 31.
  5. Jech [2006] , p. 31.
  6. Ibid.
  7. Kunen (1980), p. 33.
  8. Jech (2006), p. 33.
  9. KUNEN (1980), p. 34.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • JECH, Thomas. Set theory (em inglês). 3a. ed. Berlin: Springer, 2006. ISBN 3-540-44085-2
  • KUNEN, Kenneth. Set theory: an introduction to independence proofs (em inglês). Amsterdam: Elsevier, 1980. ISBN 0-444-86839-9