Axioma do infinito

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Na teoria dos conjuntos, o Axioma do Infinito é aquele que garante a existência de um conjunto infinito.

Isso é feito postulando-se a existência de um conjunto que não é vazio e que, para todo elemento seu, tem outro elemento maior.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Nos axiomas de Zermelo-Fraenkel, este axioma deve ser apresentado depois do axioma do par, axioma da união, axioma da separação e axioma da extensão, porque ele usa a notação \varnothing\, para o conjunto vazio, {x} para o conjunto cujo único elemento é x, e x \cup y\, para a união de dois conjuntos.

Assim, o axioma fica:

\exist \mathbf{N}: \varnothing \in \mathbf{N} \and (\forall x: x \in \mathbf{N} \implies x \cup \{x\} \in \mathbf{N})

Ou seja, existe um conjunto que tem o conjunto vazio como seu elemento e que, para todo elemento, tem também o seu sucessor.

Fato: os teoristas dos conjuntos afirmam que um sistema lógico bastante conhecido na matemática como "Aritmética de Peano" é equivalente ao modelo conjuntista de Zermelo-Fraenkel com a exclusão do Axioma do Infinito.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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