Conjunto de partes

O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado $A$ é chamado de conjunto de partes (ou conjunto potência ) de $A$, denotado por $P(A)$ ou $2^A$.

Exemplo

Diagrama de Hasse das inclusões entre os subconjuntos de S.

Se S é o conjunto de três elementos {x, y, z} a lista completa de subconjuntos de S é:

• { } (conjunto vazio);
• {x};
• {y};
• {z};
• {x, y};
• {x, z};
• {y, z};
• {x, y, z};

e portanto o conjunto de partes de S é o conjunto de 8 elementos:

P(S) = {{ }, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}.

Cardinalidade

O número de elementos do conjunto de partes de S é sempre maior que o número de elementos de S, mesmo no caso de S ter um número infinito de elementos.

Se S tem n elementos, pode-se provar que P(S) tem $2^n$ elementos. No caso de S ser um conjunto infinito, define-se $2^{|S|} = |P(S)|$ (em que |A| representa o número de elementos de A). Por outro lado, sendo $\aleph_0 = |\mathbb{N}|$, também pode ser provado que $2^{\aleph_0} = |\mathbb{R}|$.

A hipótese do continuum especula se existe algum conjunto entre $\mathbb{N}$ e $P(\mathbb{N})$, ou seja, um conjunto com mais elementos que $\mathbb{N}$ e menos elementos que $P(\mathbb{N})$.

Teoria dos Conjuntos

Na Teoria dos Conjuntos, em particular na sua formulação segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, existe um axioma cuja finalidade é garantir a existência do conjunto das partes: o axioma da potência.

Ver também

• Wikilivro b:Matemática elementar/Conjuntos, com a demonstração de que P(S) tem 2ⁿ elementos