Conjunto de partes

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O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A é chamado de conjunto de partes (ou conjunto potência ) de A, denotado por P(A) ou 2^A.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Diagrama de Hasse das inclusões entre os subconjuntos de S.

Se S é o conjunto de três elementos {x, y, z} a lista completa de subconjuntos de S é:

  • { } (conjunto vazio);
  • {x};
  • {y};
  • {z};
  • {x, y};
  • {x, z};
  • {y, z};
  • {x, y, z};

e portanto o conjunto de partes de S é o conjunto de 8 elementos:

P(S) = {{ }, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}.

Cardinalidade[editar | editar código-fonte]

O número de elementos do conjunto de partes de S é sempre maior que o número de elementos de S, mesmo no caso de S ter um número infinito de elementos.

Se S tem n elementos, pode-se provar que P(S) tem 2^n elementos. No caso de S ser um conjunto infinito, define-se 2^{|S|} = |P(S)| (em que |A| representa o número de elementos de A). Por outro lado, sendo \aleph_0 = |\mathbb{N}|, também pode ser provado que 2^{\aleph_0} = |\mathbb{R}|.

A hipótese do continuum especula se existe algum conjunto entre \mathbb{N} e P(\mathbb{N}), ou seja, um conjunto com mais elementos que \mathbb{N} e menos elementos que P(\mathbb{N}).

Teoria dos Conjuntos[editar | editar código-fonte]

Na Teoria dos Conjuntos, em particular na sua formulação segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, existe um axioma cuja finalidade é garantir a existência do conjunto das partes: o axioma da potência.

Ver também[editar | editar código-fonte]


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