Equação do quarto grau

Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas

Em matemática, uma equação do quarto grau ou equação biquadrática é uma equação polinomial monovariável de grau quarto. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:

$a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0,$ com $a_4\ne0.$

A hipótese $a_4\ne0.$ garante que o termo de quarta ordem é não-nulo. Todos os coeficientes $a_k$ são dados.

Exemplos

$2x^4+4x^3-26x^2-28x+48=0$

$x^4=1$

$x^4-5x^2+6=0$

Existência de soluções

O Teorema fundamental da álgebra, uma equação quártica terá sempre quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas no conjunto dos números complexos.

Formas especiais

Equação biquadrática

Ver artigo principal: Equação biquadrada

Uma equação biquadrática é uma equação do quarto grau da seguinte forma:

$a_4 x^4+a_2x^2 + a_0=0,$ como $a_4\ne 0$

Esta equação pode ser reduzida a uma equação do segundo grau através seguinte mudança de variáveis:

$a_4 y^2+a_2y + a_0=0,$ onde $y=x^2$

E as raízes da equação de quarto grau serão: x₁=y₁;x₂=y₂;x₃= -y₁;x₄= -y₂.

O método de Ferrari

As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari.

É importante observar que, em sua época (século XVI), não havia sido desenvolvida a notação simbólica, e números negativos normalmente não eram reconhecidos como números. As soluções eram dadas para casos concretos, e supunha-se que o leitor era capaz de generalizar.

Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:

$x^4+px^2+q=rx$

Nota-se que a equação geral $a_4 z^4 + a_3 z^3 + \ldots + a_0 = 0$ pode ser facilmente reduzida a este caso particular através da transformação $z = x - \frac {a_3} {4 a_4},$ dividindo-se a equação resultante por a₄.

A partir daqui, o método consiste em arrumar os termos da equação de forma a que ela seja escrita na forma $(x^2 + A)^2 = (B x + C)^2,$ cuja solução pode ser obtida através dos métodos de solução de equação do segundo grau.

No primeiro passo, o primeiro membro da equação, $x^4 + p x^2 + q,$ é transformado no quadrado baseado em $x^4 + q,$ ou seja, $x^4 + 2 \sqrt{q} x^2 + q:$

$x^4 + q = r x - p x^2$

$x^4 + 2 \sqrt{q} x^2 + q = (2 \sqrt{q} - p) x^2 + r x$

$2)\,\,\,\,\, (x^2+ \sqrt q)^2 = rx + \left (2\sqrt q - p \right )x^2$

Em seguida, somam-se termos em uma nova variável y, porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar y², devemos somar também $2 (x^2 + \sqrt q) y,$ ou seja:

$(x^2+ \sqrt q)^2 + 2 (x^2 + \sqrt q) y + y^2 =$

$rx + \left (2\sqrt q - p \right )x^2 + 2 (x^2 + \sqrt q) y + y^2$

Reescrevendo:

$2)\,\,\,\,\,(x^2+ \sqrt q + y)^2 = (2 \sqrt q - p + 2y ) x^2+ rx +2y \sqrt q + y^2$

Para que o segundo membro desta equação, $(2 \sqrt q - p + 2y ) x^2+ rx +2y \sqrt q + y^2,$ seja um quadrado da forma $(B x + C)^2,$ é necessário que o termo de grau 1 em x (r) seja o dobro da raiz quadrada do produto do termo de grau 2 em x ($2 \sqrt q - p + 2y$) pelo termo de grau 0 em x ($2y \sqrt q + y^2$).

Em outras palavras, isto requer:

$4 (2\sqrt q - p + 2y )(2y\sqrt q + y^2)-r^2=0$

que, expandido, gera a equação do terceiro grau:

$8y^3+ (24\sqrt q - 4 p)y^2 + (16 q - 8p\sqrt q)y -r^2=0$