Equação do quarto grau

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Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas

Em matemática, uma equação do quarto grau é uma equação polinomial monovariável de grau quarto. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:

ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0, com a\ne0.

Com a \ne 0 , pois no contrário o polinômio seria de grau menor ou igual a três.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

x^4+2x^3-13x^2-14x+24=0
x^4-1=0
x^4-5x^2+6=0

Existência de soluções[editar | editar código-fonte]

O Teorema fundamental da álgebra, uma equação quártica terá sempre quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas no conjunto dos números complexos.

Formas especiais[editar | editar código-fonte]

Equação biquadrática[editar | editar código-fonte]

Uma equação biquadrática é uma equação do quarto grau que, quando reduzida, é apresentada da seguinte forma:

 px^4+qx^2 + r=0, como p \ne 0

Esta equação pode ser reduzida a uma equação do segundo grau através seguinte mudança de variáveis:

 py^2+qy + r=0, onde  y=x^2

Cujas raízes em  y são descobertas pela Fórmula de Bhaskara:  y = \frac{-q \pm \sqrt{q^2-4pr}}{2p},

logo:  x = \pm \sqrt{\frac{-q + \sqrt{q^2-4pr}}{2p}} e  x = \pm \sqrt{\frac{-q - \sqrt{q^2-4pr}}{2p}}

Produtos Notáveis[editar | editar código-fonte]

Toda equação do 4° grau que, na forma reduzida  \left ( x^4+ax^2+bx+c=0 \right ) , apresente coeficientes nulos, será um produto notável com as raízes em  x=-\dfrac{b}{4a} .

  • Exemplo: x^4-4x^3+6x^2-4x+1=0 quando reduzido fica na forma z^4=0 , logo x=-\dfrac{b}{4a} ou  x=1 .

O método de Ferrari[editar | editar código-fonte]

As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari.

Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:

x^4+px^2+q=rx

Nota-se que a equação geral az^4 + bz^3 + cz^2 + dz + e = 0 pode ser reduzida a este caso através da transformação z = x - \frac {b} {4a}, e dividindo a equação resultante por a.

A partir daqui, o método consiste em transformar a equação em uma diferença de quadrados tal qual (x^2 + A)^2 - (B x + C)^2=0 , cuja solução pode ser obtida através dos métodos de resolução de equações do segundo grau.

No primeiro passo, o primeiro membro da equação, x^4 + p x^2 + q, é transformado no quadrado baseado em x^4 + q, ou seja, x^4 + 2 \sqrt{q}  x^2 + q:

x^4 + q = r x - p x^2
x^4 + 2 \sqrt{q} x^2 + q = (2 \sqrt{q} - p) x^2 + r x
(x^2+ \sqrt q)^2 = rx + \left (2\sqrt q - p \right )x^2

Em seguida, somam-se termos em uma nova variável y, porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar y^2, devemos somar também 2y \cdot (x^2 + \sqrt q) , ou seja:

(x^2+ \sqrt q)^2 + 2y \cdot (x^2 + \sqrt q) + y^2 =
rx + \left (2\sqrt q - p \right )x^2 + 2y \cdot (x^2 + \sqrt q) + y^2

Reescrevendo:

 (x^2+ \sqrt q + y)^2 = (2 \sqrt q - p + 2y ) x^2+ rx +2y \sqrt q + y^2


O segundo membro da equação pode ser reescrito como  (2 \sqrt q - p + 2y)\cdot(x-x_{+})\cdot(x-x_{-}) , onde x_+ e x_- são soluções da equação quadrática

(2 \sqrt q - p + 2y ) x^2+ rx +2y \sqrt q + y^2 = 0, ou seja, x=\dfrac{-r\pm\sqrt{r^2-4\cdot(2 \sqrt q - p + 2y)\cdot(2y \sqrt q + y^2)}}{2\cdot(2 \sqrt q - p + 2y)}

Para que a equação se torne uma diferença de quadrados, é necessário que  (2 \sqrt q - p + 2y)\cdot(x-x_{+})\cdot(x-x_{-}) seja um quadrado, então escreveremos que  x_+ = x_- , que necessita que a raiz quadrada na fórmula seja nula.


Em outras palavras, isto requer:

 r^2-4\cdot(2\sqrt q - p + 2y )\cdot(2y\sqrt q + y^2)=0

que, expandido, gera a equação do terceiro grau auxiliar:

 8y^3+ (24\sqrt q - 4 p)y^2 + (16 q - 8p\sqrt q)y -r^2=0, onde apenas uma raíz  y_1 é necessária (recomenda-se utilizar uma raiz real).


Retomando o cálculo da incógnita x , temos que x_+=x_-=-\dfrac{r}{2\cdot(2 \sqrt q - p + 2y)}


Com isso a equação (x^2+ \sqrt q + y)^2 = \left (2 \sqrt q - p + 2y  \right ) \cdot\left (x+\dfrac{r}{2\cdot\left (2 \sqrt q - p + 2y  \right )}  \right )^2 , pode ser reescrita como (x^2+ \sqrt q + y)^2 - \left (\sqrt{2 \sqrt q - p + 2y}  \right )^2 \cdot\left (x+\dfrac{r}{2\cdot\left (2 \sqrt q - p + 2y  \right )}  \right )^2 = 0, ou (x^2+\sqrt q + y)^2-\left (x\sqrt{2 \sqrt q - p + 2y}+\dfrac{r}{\sqrt{8 \sqrt q - 4p + 8y}}  \right )^2 = 0

que resulta em uma diferença de dois quadrados:

x^2+\sqrt q + y \pm \left (x\sqrt{2 \sqrt q - p + 2y}+\dfrac{r}{\sqrt{8 \sqrt q - 4p + 8y}}  \right )=0

Que gera duas equações quadráticas que podem ser resolvidas pelos métodos de resolução de equações de segundo grau nas equações seguintes:

x^2+x\sqrt{2\sqrt q -p+2y}+\sqrt{q}+y+\dfrac{r}{\sqrt{8\sqrt q -4p+8y}}=0

x^2-x\sqrt{2\sqrt q -p+2y}+\sqrt{q}+y-\dfrac{r}{\sqrt{8\sqrt q -4p+8y}}=0



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