Equação quadrática

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As soluções de uma equação quadrática correspondem às intersecções com o eixo x, das abcissas (raízes) de uma função polinomial do segundo grau. (No caso da figura, as raízes da função são x = -1 e x=2).

Em matemática, uma equação quadrática ou equação do segundo grau é uma equação polinomial de grau dois. A forma geral deste tipo de equação é:

ax^2 + bx + c = 0

onde x é uma variável, sendo a, b e c constantes, com a ≠ 0 (caso contrário, a equação torna-se linear). As constantes a, b e c, são chamadas respectivamente de coeficiente quadrático, coeficiente linear e coeficiente constante ou termo livre. A variável x representa um valor a ser determinado, e também é chamada de incógnita. O termo "quadrático" vem de quadratus, que em latim significa quadrado. Equações quadráticas podem ser resolvidas através da fatoração, do completamento de quadrados, do uso de gráficos, da aplicação do método de Newton ou do uso de uma fórmula (apresentada abaixo). Um uso frequente das equações do segundo grau é no cálculo das trajetórias de projéteis em movimento.

Polinômio de Segundo Grau - coeficiente A diferente de zero.[editar | editar código-fonte]

A equação quadrática é, antes de tudo, um polinômio do segundo grau, isto é, tem como termo de maior grau (valor do expoente mais alto) um termo de expoente 2. A definição "a diferente de zero" é o que caracteriza a equação de segundo grau, visto que a incógnita x^2 é diretamente multiplicada pelo coeficiente a, e portanto se a fosse igual a zero, anular-se-ia o x^2, e assim a equação passaria a ser de 1º grau.

As primeiras soluções para uma equação quadrática foram apresentadas pelos babilônios, por volta do ano 1700 a.C.. Na época, como não se utilizavam números negativos, as soluções eram geométricas, e havia "casos" diferentes segundo os sinais que, hoje em dia, daríamos aos coeficientes a, b e c. Por exemplo, a equação x^2 + 4x - 3 = 0 era enunciada, apenas, sob a forma x^2 + 4x = 3; a equação x^2 - 4x + 3 = 0, como x^2 + 3 = 4x. Com o progresso da álgebra, principalmente pela introdução de números negativos e incógnitas, os diferentes "casos" foram reduzidos a uma única fórmula, válida independentemente dos sinais dos coeficientes. Simultaneamente, o desenvolvimento das coordenadas cartesianas e da geometria analítica permitiram interpretar a equação quadrática como um gráfico de função, o que ajudou a esclarecer os diferentes casos, inclusive a presença de soluções imaginárias.

No Brasil, a fórmula para as duas raízes da equação do segundo grau é conhecida como Fórmula de Bhaskara, em referência ao matemático indiano Bhaskara Akaria, que publicou no século XII diversos resultados algébricos, dentre os quais as fórmulas para os diversos casos da equação quadrática.

Fórmula[editar | editar código-fonte]

Uma equação do segundo grau cujos coeficientes sejam números reais ou complexos possui duas soluções, chamadas de raízes da equação. Elas são dadas pela seguinte fórmula:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},

sendo a, b e c os coeficientes da equação de segundo grau, e o símbolo ± indica que uma das soluções é obtida através da soma e a outra por meio da diferença.

A fórmula acima é utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática, isto é, os valores que x pode assumir. No Brasil, ela é conhecida como Fórmula de Bhaskara, mas em outros países é conhecida simplesmente como a fórmula geral para resolução da equação polinomial do segundo grau[1] .

Demonstrações da fórmula quadrática[editar | editar código-fonte]

A solução da equação do segundo grau utiliza um método astucioso: o completamento de quadrados (inspirado, por sua vez, nos produtos notáveis) que permite simplificar a equação ao extrair a raiz quadrada ao eliminar o termo em x^2:

Se a\not = 0 então:

\definecolor{gray}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{gray}\begin{matrix} ax^2 + bx + c = 0 \Leftrightarrow \\ \\
(4a)(ax^2 + bx + c) = (4a)\cdot 0 \Leftrightarrow \\ \\
4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 \Leftrightarrow \\ \\
(2ax)^2 + 2(2ax)b = -4ac \Leftrightarrow \\ \\
(2ax)^2 + 2(2ax)b + b^2 = -4ac + b^2 \Leftrightarrow \\ \\
(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac\Leftrightarrow \\ \\
\left|2ax + b\right| = \sqrt{b^2 - 4ac} \end{matrix}

Logo, tem-se, por definição de módulo, que:

Se \definecolor{darkgray}{RGB}{170,170,170}\pagecolor{darkgray}(2ax+b) \ge 0 Se \definecolor{darkgray}{RGB}{170,170,170}\pagecolor{darkgray}(2ax+b) < 0

\definecolor{gray}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{gray}\begin{matrix} 2ax + b = \sqrt{b^2 - 4ac} \Leftrightarrow \\ \\
2ax = \sqrt{b^2 - 4ac} - b \Leftrightarrow \\ \\
x = \frac{ -b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{matrix}

\definecolor{gray}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{gray}\begin{matrix} 2ax + b = - \sqrt{b^2 - 4ac} \Leftrightarrow \\ \\
2ax = - \sqrt{b^2 - 4ac} - b \Leftrightarrow \\ \\
x = \frac{ -b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{matrix}

Portanto,

\definecolor{gray}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{gray}x=\left \{\begin{matrix} \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \rightarrow r_1 \\ \\
\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \rightarrow r_2 \end{matrix}\right.\Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Ou:

\definecolor{gray}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{gray}\begin{matrix} ax^2 + bx + c = 0 \Leftrightarrow \\ \\
a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c = 0 \Leftrightarrow \\ \\
a(x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c = 0 \Leftrightarrow \\ \\
a(x + \frac{b}{2a})^2 - a(\frac{b}{2a})^2 + c = 0 \Leftrightarrow \\ \\
a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0 \Leftrightarrow \\ \\
a(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a} - c \Leftrightarrow \\ \\
(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \Leftrightarrow \\ \\
x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \Leftrightarrow \\ \\
x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \Leftrightarrow \\ \\
x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{\sqrt{4a^2}} \Leftrightarrow \\ \\
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{matrix}

Discriminante, estudo das Raízes e o Quadrado Perfeito[editar | editar código-fonte]

Na fórmula acima, a expressão que aparece sob a raiz quadrada é chamada de discriminante da equação quadrática, e é comumente denotada pela letra grega delta maiúsculo:

\Delta = b^2-4ac.

Dessa forma, pode-se reescrever a fórmula resumidamente como:

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Uma equação quadrática com coeficientes reais tem duas raízes reais, ou então duas raízes complexas. O discriminante da equação determina o número e a natureza das raízes. Há apenas três possibilidades: (Lembrando que todo polinômio de grau n, tem n raízes; Como uma equação do 2º grau é de grau 2, logo ela possui duas raízes.)

  • Se \Delta > 0, a equação tem duas raízes reais distintas.
  • Se \Delta = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais (tecnicamente chamada de raiz dupla), ou popularmente "uma única raiz":
x = \frac{-b}{2a}.
  • Se \Delta < 0, a equação não possui qualquer raiz real. Em vez disso, ela possui duas raízes complexas distintas, que são conjugadas uma da outra:
\frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} e  \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a},
onde i é a unidade imaginária.

Assim as raízes são distintas se e somente se o discriminante é não nulo, e são reais se e somente se o discriminante é não-negativo.

Geometria[editar | editar código-fonte]

Para a função quadrática: f (x) = x2x − 2 = (x + 1)(x − 2) de uma variável real x, as abcissas dos pontos nos quais o gráfico intersecta o eixo horzontal, x = −1 e x = 2, são as soluções da equação quadrática: x2x − 2 = 0.

As soluções da equação quadrática

ax^2+bx+c=0,

são também as raízes da função quadrática:

f(x) = ax^2+bx+c,

uma vez que elas são os valores de x para os quais

f(x) = 0.

Se a, b, e c são números reais e o domínio de f é o conjunto dos números reais, então as raízes de f são exatamente as abcissas dos pontos nos quais o gráfico toca o eixo x.

Disto segue que, se o discriminante é positivo, o gráfico toca o eixo x em dois pontos, se for zero o gráfico toca em apenas um ponto e se for negativo, o gráfico não encosta no eixo x.

Sentido da Parábola[editar | editar código-fonte]

A característica da Parábola e sua direção podem ser obtidas a partir do valor de a.

Caso a seja igual a zero, a equação é linear, não existe uma parábola, mas será plotada a reta bx + c.

Caso a seja positivo, a parábola terá o aspecto de U.

Caso a seja negativo, a parábola terá o aspecto de ∩.

Forma fatorada da equação quadrática[editar | editar código-fonte]

O termo

x - r

é um fator do polinômio

ax^2+bx+c,

se e somente se r é uma raiz da equação quadrática

ax^2+bx+c=0.

Segue da fórmula quadrática que

ax^2+bx+c = a \left( x - \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right) \left( x - \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right) = a \left [(x - r_1)(x - r_2)\right ].

No caso especial em que a quadrática possui apenas uma raiz (b^2 = 4ac, isto é, discriminante nulo), o polinômio quadrático pode ser fatorado como

ax^2+bx+c = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 =  a (x - r)^2

Relações entre coeficientes e raízes[editar | editar código-fonte]

As fórmulas de Viète fornecem uma relação simples entre as raízes de um polinômio e seus coeficientes. No caso do polinômio quadrático, elas tomam a seguinte forma

A partir de fórmula de Bhaskara, pode-se deduzir expressões bastante simples para a soma e para o produto das raízes x_1 e x_2 da equação:

 x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

e

 x_1 \ x_2 = \frac{c}{a}.

Estas igualdades seguem diretamente da relação:

\left( x - x_1 \right) \ \left( x-x_2 \right ) = x^2 \ - \left( x_1+x_2 \right)x +x_1 \ x_2 \ = 0 \ ,

que pode ser comparada termo a termo com:

 x^2 + (b/a)x +c/a = 0 \ .

Em alguns casos simples, o uso dessas propriedades permite que se deduza quais são as raízes, pela simples inspeção visual e tentativa de composição de dois números que satisfaçam as relações dadas para a soma e para o produto das raízes.

A primeira das duas fórmulas fornece também uma expressão conveniente ao traçar o gráfico de uma função quadrática. Uma vez que o gráfico é simétrico com relação a uma reta vertical passando pelo vértice da parábola, quando há duas raízes reais a abscissa do vértice está localizada na média aritmética das duas raízes, isto é, seu valor é dado pela expressão:

 x_V = \frac {x_1 + x_2} {2} = -\frac{b}{2a}.

A outra coordenada pode ser obtida através da substituição do resultado anterior na expressão quadrática, resultando em

 y_V = - \frac{b^2}{4a} + c = - \frac{ b^2 - 4ac} {4a}.

Assim, o gráfico da função f(x)=ax^2+bx+c será sempre uma parábola com vértice em

V=\left( \frac{-b}{2a},\frac{-\Delta}{4a} \right).

Para um estudo mais detalhado do gráfico, ver função quadrática.

Gráfico de duas avaliações da menor raiz de uma quadrática: avaliação direta através da fórmula quadrática (preciso no pequenos valores de b) e uma aproximação para raízes amplamente espaçadas (preciso para grandes valores de b). A diferença atinge um mínimo nos pontos grandes, e o arredondamento provoca rabiscos na curva acima deste valor mínimo.

Em termos práticos, as fórmulas de Viète fornecem um método útil para a busca de raízes de uma quadrática no caso em que uma raiz é bem menor do que a outra. Se |x1| << |x2|, então x1 + x2x1, e tem-se a estimativa:

 x_1 \approx -\frac{b}{a} \ .

Da segunda fórmula de Viète resulta:

x_2 = \frac{c}{a \ x_1} \approx -\frac{c}{b} \ .

Estas fórmulas são mais fáceis de avaliar do que a Fórmula de Bhaskara sob a condição de que uma raiz é grande e uma pequena, porque a fórmula de resolução de equações quadráticas avalia a raiz menor como a diferença entre dois numeros praticamente iguais (no caso em que b é grande), o que causa erros de arredondamento em avaliações numéricas. A figura ao lado mostra a diferença entre (i) um calculo direto usando a fórmula de Bhaskara (preciso quando as raízes têm valores próximos) e (ii) uma avaliação baseada na aproximação das fórmulas de Viète dadas acima (precisa quando as raízes estão bem separadas). Conforme o coeficiente linear b aumenta, inicialmente a fórmula quadrática é precisa, e a fórmula aproximada melhora sua precisão, levando a pequenas diferenças entre os métodos ao aumentar b. No entanto, em algum ponto a fórmula de Bhaskara começa a perder precisão devido aos erros de arredondamento, enquanto o método aproximado continua a melhorar. Consequentemente a diferença entre os métodos começa a aumentar ao passo que a fórmula de Bhaskara fica cada vez pior.

Esta situação aparece com frequência em projeto de amplificadores, onde é desejável raízes bastante separadas para garantir uma operação estável.

Outras relações entre as raízes[editar | editar código-fonte]

Denotando-se as raízes de uma equação do segundo grau por r_1 e r_2, sua soma por S = r_1 + r_2 e seu produto por P = r_1 \cdot r_2, verificam-se as seguintes relações entre as raízes:

Expressão envolvendo as raízes Definição Relação com S e P
Soma do inverso das raízes \textstyle\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2} \textstyle\frac{S}{P}
Soma dos quadrados das raízes r_1^2+r_2^2 S^2-2P
Soma dos quadrados dos inversos das raízes \textstyle\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2} \textstyle\frac{S^2-2P}{P^2}
Soma dos cubos das raízes r_1^3 + r_2^3 S^3 - 3S \cdot P
Média aritmética das raízes \textstyle\frac{r_1 + r_2}{2} \textstyle\frac{S}{2}
Média geométrica das raízes \sqrt{r_1 \cdot r_2} \sqrt{P}
Média harmônica das raízes \textstyle\frac{1}{\frac{\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}}{2}} \textstyle\frac{2P}{S}

Resolução das equações incompletas[editar | editar código-fonte]

Ausência do termo de 1° grau[editar | editar código-fonte]

É uma equação no formato ax^2 + c = 0, que pode ser resolvida levando-se em conta que:

ax^2 + c = 0 \Leftrightarrow ax^2 = -c \Leftrightarrow x^2 = - \frac{c}{a},

para \dfrac{c}{a} < 0, a equação terá duas raízes reais simétricas. No caso \dfrac{c}{a}>0 as raízes serão complexas com  Re(x)=0 e complexamente simétricas, ou seja:  x_1=\overline{x_{2}} .

Ausência do termo independente[editar | editar código-fonte]

É uma equação no formato ax^2 + bx = 0, cuja solução pode ser obtida considerando-se que:

ax^2 + bx = 0 \Leftrightarrow x (ax + b) = 0.

De fato, neste caso tem-se necessariamente que x = 0 ou ax + b = 0, sendo esta última alternativa equivalente a x = - \frac{b}{a}, se os coeficientes forem reais, as raízes também serão.

Ausência do termo de 1° grau e termo independente[editar | editar código-fonte]

Neste caso particular, temos:  ax^2 + 0 x + 0 = 0 , onde o termo independente é o produto das raízes, logo  (x-0)\cdot(ax+0)=0 . Repetindo o processo temos:  a \cdot (x-0)\cdot(x-0), que é a forma fatorada apresentando as raízes  x=0 e  x=0 .

Notas e referências

  1. Refatti & Bisognin (2005), p. 2.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]