Distribuição binomial

Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos numa sequência de n tentativas tais que as tentativas são independentes; cada tentativa resulta apenas em duas possibilidades, sucesso ou fracasso (a que se chama de tentativa de Bernoulli); a probabilidade de cada tentativa, p, permanece constante.

Função de probabilidade

Se a variável aleatória X que contém o número de tentativas que resultam em sucesso tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p escrevemos X ~ B(n, p). A probabilidade de ter exatamente k sucessos é dado pela função de probabilidade:

$f(k;n,p)={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}\,$

para $k=0,1,2,\dots,n$ e onde ${n\choose k}$ é uma combinação.

Através do desenvolvimento do binômio e algumas operações com expoentes e fatoriais, é possível demonstrar que:

$f(k;n,p) = \frac{p}{1-p} \frac{n-k+1}{k} f(k-1;n,p)$

Exemplo:

Três dados comuns e honestos serão lançados. A probabilidade de que o número 6 seja obtido mais de uma vez é: A probabilidade de que seja obtido 2 vezes mais a probabilidade de que seja obtido 3 vezes. Usando a distribuição binomial de probabilidade:

Acha-se a probabilidade de que seja obtido 2 vezes:

$f(2;3,\frac{1}{6})={3\choose 2}\times\left(\frac{1}{6}\right)^2\times\left(1-\frac{1}{6}\right)^{3-2}\,$

$=\frac{3!}{2!\cdot\left(3-2\right)!}\,\!\times\frac{1}{36}\times(\frac{5}{6})^{1}\,$

$=\frac{3\times2!}{2!\cdot\left(1\right)!}\,\!\times\frac{1}{36}\times\frac{5}{6}\,$

$=\frac{3}{1}\times\frac{1}{36}\times\frac{5}{6}=\frac{15}{216}=\frac{5}{72}\,$

Agora a probabilidade de que seja obtido 3 vezes:

$f(3;3,\frac{1}{6})={3\choose 3}\times\frac{1}{6}^3\times(1-\frac{1}{6})^{3-3}\,$

$=\frac{3!}{3!\cdot\left(3-3\right)!}\,\!\times\frac{1}{216}\times(\frac{5}{6})^{0}\,$

$=\frac{3!}{3!}\times\frac{1}{216}\times1\,$

$=1\times\frac{1}{216}\times1=\frac{1}{216}\,$

Assim, a resposta é:

$=\frac{15}{216}+\frac{1}{216}=\frac{16}{216}\,$

Valor esperado e variância

Se a X ~ B(n, p) (isto é, X é uma variável aleatória binomialmente distribuida), então o valor esperado de X é

$E[X]=np\,$

e a variância é

$\mbox{var}(X)=np(1-p).\,$

Exemplo

Seja X uma variável aleatória que contém o número de caras saídas em 12 lançamentos de uma moeda honesta. A probabilidade de sair 5 caras em 12 lançamentos, P(X=5), é dada por:

$\!k = 5, n = 12, p = 0.5$

$\!f(5;12,0.5)={12 \choose 5}0.5^5(1-0.5)^{12-5}=0.19$