Distribuição de Bernoulli

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Na área de teoria das probabilidades e estatística, a distribuição de Bernoulli, nome em homenagem ao cientista suíço Jakob Bernoulli, é a distribuição discreta de espaço amostral {0, 1}, que tem valor 1 com a probabilidade de sucesso p e valor 0 com a probabilidade de falha q=1-p.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Se X é uma variável aleatória com essa distribuição, teremos:

 P(X=1) = 1 - P(X=0) = 1 - q = p.\!

Um exemplo clássico de uma experiência de Bernoulli é uma jogada única de uma moeda. A moeda pode dar "coroa" com probabilidade p e "cara" com probabilidade 1 - p. A experiência é dita justa se p=0.5, indicando a origem dessa terminologia em jogos de aposta (a aposta é justa se ambos os possíveis resultados tem a mesma probabilidade).

A [função de probabilidade] f dessa distribuição é

 f(k;p) = \begin{cases} p & \text{se }k=1, \\[6pt]
1-p & \text {se }k=0.\end{cases}

Também pode ser expressado como

f(k;p) = p^k (1-p)^{1-k}\!\quad \text{para }k\in\{0,1\}.

O valor esperado de uma variável aleatória de Bernoulli X é E\left(X\right)=p, e sua variância é

\textrm{Var}\left(X\right)=p\left(1-p\right).\,

A distribuição de Bernoulli é um caso especial da distribuição Binomial, com n = 1.

A curtose vai até o infinito para grandes e pequenos valores de p, mas para p = 1/2 a distribuição de Bernoulli tem um excesso de curtose mais baixo que qualquer outra distribuição de probabilidade (-2).

As distribuições de Bernoulli para 0 \le p \le 1 formam uma família exponiencial.

A máxima verossimilhança de p baseada em uma amostra aleatória é a média amostral.

Distribuições relacionadas[editar | editar código-fonte]

  • Se X_1, X_2, \ldots, X_n\, são n distribuições de Bernoulli independentes com o mesmo parâmetro p, então sua soma X = \Sigma X_i\, é a distribuição binomial \mbox{Binomial}(n,p)\,.
  • A distribuição categórica é a generalização da distribuição de Bernoulli para variáveis com qualquer quantidade constante de valores discretos.
  • A distribuição beta é o conjugado a priori da distribuição de Bernoulli.
  • A distribuição geométrica modela o número de experimentos de Bernoulli independentes e idênticos necessários para conseguir um sucesso.

Ver também[editar | editar código-fonte]