Coeficiente de correlação de Pearson

Em estatística descritiva, o coeficiente de correlação de Pearson, também chamado de "coeficiente de correlação produto-momento" ou simplesmente de "$\rho$ de Pearson" mede o grau da correlação (e a direcção dessa correlação - se positiva ou negativa) entre duas variáveis de escala métrica (intervalar ou de rácio/razão).

Este coeficiente, normalmente representado por $\rho$ assume apenas valores entre -1 e 1.

• $\rho= 1$ Significa uma correlação perfeita positiva entre as duas variáveis.
• $\rho= -1$ Significa uma correlação negativa perfeita entre as duas variáveis - Isto é, se uma aumenta, a outra sempre diminui.
• $\rho= 0$ Significa que as duas variáveis não dependem linearmente uma da outra. No entanto, pode existir uma dependência não linear. Assim, o resultado $\rho=0$ deve ser investigado por outros meios.

Cálculo

Calcula-se o coeficiente de correlação de Pearson segundo a seguinte fórmula:

$\rho = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}\cdot\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}} = \frac{\operatorname{cov}(X, Y)}{\sqrt{\operatorname{var}(X)\cdot\operatorname{var}(Y)}}$

onde $x_1, x_2, \dots, x_n$ e $y_1, y_2, \dots, y_n$ são os valores medidos de ambas as variáveis. Para além disso

$\bar{x} = \frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^{n} x_{i}$

e

$\bar{y} = \frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^{n} y_{i}$ são as médias aritméticas de ambas as variáveis.

A análise correlacional indica a relação entre 2 variaveis lineares e os valores sempre serão entre +1 e -1. O sinal indica a direção, se a correlação é positiva ou negativa, e o tamanho da variavel indica a força da correlação.

Interpretando $\rho$

• 0.70 para mais ou para menos indica uma forte correlação.
• 0.30 a 0.7 positivo ou negativo indica correlação moderada.
• 0 a 0.30 Fraca correlação.

Interpretação geométrica

As duas séries de valores $X (x_1, \ldots, x_n)$ e $Y (y_1, \ldots, y_n)$ podem ser consideradas como vetores em um espaço de n dimensões. $X (x_1 - \bar x, \ldots, x_n - \bar x)$ e $Y (y_1 - \bar y, \ldots, y_n - \bar y)$.

O cosseno do ângulo α entre estes vetores é dado pela fórmula (produto escalar normado):

$\cos(\alpha) = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^N (x_i - \bar x)\cdot(y_i - \bar y)}{\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^N (x_i - \bar x)^2}\cdot\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^N (y_i - \bar y)^2}}$

Portanto $\cos(\alpha) = \rho$

O coeficiente de correlação não é outro senão o cosseno do ângulo α entre os dois vetores!

Se $\rho$ = 1, o ângulo α = 0, os dois vetores são colineares (paralelos).

Se $\rho$ = 0, o ângulo α = 90°, os dois vetores são ortogonais.

Se $\rho$ = -1, o ângulo α = 180°, os dois vetores são colineares com sentidos opostos.

Mais geralmente : $\alpha = \arccos(\rho)$, ($\arccos$ é a recíproca da função cosseno).

Ver também

• Correlação
• Coeficiente de correlação de postos de Spearman